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第七章蒙特卡罗方法在积分计算中的应用
1.蒙特卡罗方法求积分
2.重要抽样
3.俄国轮盘赌和分裂
4.半解析方法
5.系统抽样
6.分层抽样
第七章蒙特卡罗方法在积分计算中的应用
计算多重积分是蒙特卡罗方法的重要应用
领域之一。本章着重介绍计算定积分的蒙特卡
罗方法的各种基本技巧，而这些技巧在粒子输
运问题中也是适用的。
1.蒙特卡罗方法求积分
蒙特卡罗方法求积分的一般规则如下：任何一个
积分，都可看作某个随机变量的期望值，因此，可以
用这个随机变量的平均值来近似它。
设欲求积分
其中，P＝P(x，x，…，x)表示s维空间的点，V表
12ss
示积分区域。取V上任一联合概率密度函数f(P)，令
s
则
即θ是随机变量g(P)的数学期望，P的分布密度函数为
f(P)。现从f(P)中抽取随机向量P的N个样本：
P，i＝1，2，…，N，则
i
就是θ的近似估计。
2.重要抽样
1)偏倚抽样和权重因子
取V上任一联合概率密度函数f(P)，令
s1
则有
现从f(P)中抽样N个点：P，i＝1，2，…，N，则
1i
就是θ的又一个无偏估计。
2)重要抽样和零方差技巧
要使最小，就是使泛函I[f1]极小。
利用变分原理，可以得到最优的f1(P)为
特别地，当g(P)≥0时，有
这时
即g的方差为零。实际上，这时有
1
不管那种情况，我们称从最优分布f(P)的抽样为重要
l
抽样，称函数|g(P)|为重要函数。
3.俄国轮盘赌和分裂
1)分裂
设整数n≥1，令
则
于是计算θ的问题，可化为计算n个θ的和来得到，而
i
每个g(P)为原来θ的估计g(P)的1/n，这就是分裂技
i
巧。
2)俄国轮盘赌
令0＜q＜1，
则
于是θ变为一个两点分布的随机变量ζ的期望值，
ζ的特性为：
这样就可以通过模拟这个概率模型来得到θ，这就是
俄国轮盘赌。
3)重要区域和不重要区域
我们往往称对积分θ贡献大的积分区域为重要区
域，或感兴趣的区域；称对积分θ贡献小的区域为不
重要区域，或不感兴趣的区域。
考虑二重积分
令R是V上x的积分区域，表为R＝R+R，其中R是
2121
重要区域，R是不重要区域，两者互不相交。又命Q
2
为V上相应于y的积分区域。则
2
通常蒙特卡罗方法，由f(x,y)抽样(x,y)的步骤是：
从f(x)中抽取x，再由f(y|x)中抽样确定y，然后用
li2ii
作为θ的一个无偏估计。
现在，改变抽样方案如下：
(1)当x∈R时
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