2024秋高中数学 第三章 三角恒等变换本章小结学案设计 新人教A版必修4.docVIP

第三章三角恒等变换

本章小结

学习目标

对本章知识进行总结,对重点热点题型进行归纳梳理

合作学习

一知识分析

(一)公式归纳

1两角和与差的正弦余弦和正切公式:

(1)cos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβ;

(2)cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ;

(3)sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ;

(4)sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;

(5)tan(αβ)=?(tanαtanβ=tan(αβ)·(1+tanαtanβ));

(6)tan(α+β)=?(tanα+tanβ=tan(α+β)·(1tanαtanβ))

2二倍角的正弦余弦和正切公式:

(1)sin2α=2sinαcosα?1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2;

(2)cos2α=cos2αsin2α=2cos2α1=12sin2α

?升幂公式1+cosα=2cos2,1cosα=2sin2

?降幂公式cos2α=,sin2α=;

(3)tan2α=

3万能公式:

(1)sin2θ=;

(2)cos2θ=;

(3)tan2θ=;

(4)sin2θ=;

(5)cos2θ=

4半角公式:

(1)cos=±;

(2)sin=±;

(3)tan=±(后两个不用判断符号,更加好用)

5asinθ+bcosθ=sin(θ+φ)(其中辅助角φ与点(a,b)在同一象限,且tanφ=)

(二)要点概述

1求值常用的方法:化弦法,升幂降幂法,辅助元素法,“1”

2要熟悉角的拆拼变换的技巧,倍角与半角的相对性,如2α=(α+β)+(αβ),α=(α+β)β=(αβ)+β,的半角,的倍角等

3要掌握求值问题的解题规律和途径,寻求角间关系的特殊性,化非特殊角为特殊角,正确选用公式,灵活掌握各个公式的正用逆用变形用等

4求值的类型:

(1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看较难,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系解题时,要利用观察得到的关系,进行适当角的配凑升降幂公式将非特殊角转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解

(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系

(3)“给值求角”:实质上可转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角

5灵活运用角和公式的变形,如:2α=(α+β)+(αβ),tanα+tanβ=tan(α+β)(1tanαtanβ)等,另外重视角的范围对三角函数值的影响,因此要注意角的范围的讨论

6化简三角函数式常有两种思路:一是角的变换(即将多种形式的角尽量统一),二是三角函数名称的变化(即当式子中所含三角函数种类较多时,一般是“切割化弦”),有时,两种变换并用,有时只用一种,视题而定

7证明三角恒等式时,所用方法较多,一般有以下几种证明方法:①从一边到另一边;②两边等于同一个式子;③作差法

二典例分析,性质应用

(一)求值题

【例1】已知α∈,β∈(0,),且cos(α)=,sin(π+β)=,求cos(α+β)

(二)化简题

【例2】化简:,其中πα2π

(三)证明题

【例3】求证:

(四)与向量三角形等有关的综合题

【例4】平面直角坐标系内有点P(1,cosx),Q(cosx,1),x∈[]

(1)求向量的夹角θ的余弦;

(2)求cosθ的最值

(五)恒等变换综合应用

【例5】已知函数f(x)=sinxcosxsin2x+

(1)求f(x)的最小正周期及f;

(2)求函数f(x)在[]上的值域;

(3)求函数的单调区间;

(4)求函数的对称轴及对称中心

三章末巩固

(一)选择题

1的值为()

A B

C D

2cosαsinα可化为()

Asin(α) Bsin(α)

Csin(+α) Dsin(+α)

3若α,β∈(0,),且tanα=,tanβ=,则αβ的值是()

A B

C D

4函数y=8sinxcosxcos2x的周期为T,最大值为A,则()

AT=π,A=4 BT=,A=4

CT=π,A=2 DT=,A=2

5已知=1,则sin2α的值为()

A1 B1

C22 D22

6已知tanθ=,则cos2θ+sin2θ等于()

A B

C D

7设f(tanx)=tan2x,则f(2)等于()

A4 B

C D

8的值是()

Asin2 Bcos2

Ccos2 Dcos2

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