专题1公式法【讲】-2024-2025学年高中数学思想方法大全.docx

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专题1????公式法【讲】

公式法，指应用公式解决问题的方法，包含对公式的直接应用、变形使用和拓展应用等，体现了人们数学化地思考与解决问题的过程．公式是纽带，沟通了数学中量与量之间的联系，而要运用好公式解决问题，需要理解公式的内涵，知晓公式的变形，明确公式的适用范围等．

类型一正向使用公式

【典例1】已知，，α，β均为锐角，则______．

【方法引导】欲求，分析条件，易联想两角和正切公式，直接运用公式求出

的值，注意角的范围，求出的值.

【详细解析】由题意可知，，

且α，β均为锐角，故．

【方法反思】分析题目条件中的量与问题间未知量的联系，联想公式搭建解决问题的桥梁，注意角的范围.

【核心公式】两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ；??cos（α?β）＝cosαcosβ±sinαsinβ；????

tan（α±β）＝

【典例2】已知等差数列的前项和为，若，则（）

A．????B．????C．1????D．

【答案】D

【方法引导】条件与问题涉及量之间，可运用等差数列与通项公式，转化为基本量，整体求解.

【详细解析】方法一：利用等差数列的基本量

由，根据等差数列的求和公式，，

又.故选：D

方法二：利用等差数列的性质

根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，

，故.

故选：D

【方法反思】关注问题与条件中涉及的量，联想公式，建立已知量与未知量的关系，是解决问题的关键.

【核心公式】等差数列的有关公式

（1）通项公式：an＝a1＋（n－1）d.（2）前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.

（3）等差数列的性质：若，则.

【举一反三】

1．若，则的一个可能值是（????）

A． B． C． D．

2．在中，已知，，，则角的值为（????）

A．或 B． C． D．或

3．已知是等差数列，是等比数列，若，，则．

类型二逆向使用公式

【典例1】化简：．

【方法引导】条件为齐次式，考虑弦化切，在观察代数式特征，逆用两角和的正切公式，注意特殊角的正切值．

【详细解析】因为

【方法反思】对齐次式常常考虑弦化切，关注“1”的妙用，构造后逆向使用两角和正切公式求解．

【核心公式】（1）同角三角函数的基本关系式：商数关系tanα＝；（2）两角和与差正切公式逆用：.=tan（α±β）

【典例2】在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为（）

A．??????????B．????????????????C．???????????D．

【方法引导】根据条件，得，联系余弦定理，逆用公式可求.

【详细解析】因为向量，，

因为，所以，即，

由余弦定理可得.

因为，所以，

故选：B.

【方法反思】熟悉公式结构，根据条件，逆向运用公式是解决问题的常用思路．

【核心公式】（1）平面向量共线的坐标表示：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0.

a∥b?x1y2－x2y1＝0.

（2）余弦定理可以变形：cosA＝，cosB＝，cosC＝.

【举一反三】

4．已知，则（????）

A． B． C． D．

5．在中，记内角所对的边分别为.若，则（????）

A． B． C． D．

6．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的0ab，则必有()．

A．af(b)≤bf(a) B．bf(a)≤af(b)

C．af(a)≤f(b) D．bf(b)≤f(a)

类型三变形使用公式

【典例1】在中，，则（）

A．????B．????C．????D．

【方法引导】观察，可联想两角和的正切公式，向公式方向变形，整体代入，注意特殊角的正切值．

【详细解析】因为，所以，

即，所以，

又因为，所以，于是，

故选：B．

【方法反思】关注条件中含有公式的部分，把握公式的整体结构，运用相关运算性质，是灵活进行公式变形的关键．

【核心公式】两角和差公式的常用变形

（1）tanα±tanβ＝tan（α±β）（1?tanαtanβ）；（2）cos2α＝，sin2α＝；

（3）1＋sin2α＝（sinα＋cosα）2，1－sin2α＝（sinα－cosα）2，sinα±cosα＝sin.

【典例2】在中，，则（）

A．????B．????C．????D．

【答案】B

【方法引导】条件中有边有角，未知量较多，需联系正弦定理的变形，化角为边，再联系余弦定理，整体代入完成求值.

【详细解析】因为，

所以由正弦定理得