（浙江版）高考数学复习： 专题7.6 数学归纳法（讲）.docVIP

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第06节数学归纳法

【考纲解读】

考点

考纲内容

五年统计

分析预测

数学归纳法

了解数学归纳原理，会用数学归纳法证明简单的数学命题.

2017浙江22

利用数学归纳法证明数列问题.

备考重点：

1.数学归纳法原理；

2.数学归纳法的简单应用.

【知识清单】

数学归纳法

1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)

时命题成立．

(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．

2.数学归纳法的框图表示

对点练习

【2018届浙江省温州市高三9月一模】已知数列an中，a1=12

（1）求证：12

（2）求证：1a

（3）设bn=n(1+a1)(1+a2

【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

试题解析：（1）证明：当n=1时，a1=

假设当n=k（k≥1）时，12≤an

即n=k+1

所以，当n∈N*

（2）由an+1=

所以an

即1a

即1a

所以，数列1a

（3）由（2）知，1a

∴an

因此bn

当n≥2时，12

即n≥2时，b

所以n≥2时，b

显然bn0，只需证明n≥3

当n≥3时，Sn=b1+b

【考点深度剖析】

数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要体现在证明等式、证明不等式、证明整除性问题、归纳猜想证明等．浙江对数学归纳法的考查主要是与数列相结合.

【重点难点突破】

考点1利用数学归纳法证明等式

【1-1】．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边计算所得的式子为()

A.1B.1＋2C.1＋2＋22D.1＋2＋22＋23

【答案】D

【解析】左边的指数从0开始，依次加1，直到n＋2，所以当n＝1时，应加到23，故选D.

【1-2】观察下列等式：

；

；

；

；

………

（1）照此规律，归纳猜想出第个等式；

（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.

【答案】（1）（）；（2）见解析.

试题解析：

（1）第个等式为（）；

（2）用数学归纳法证明：

①当时，等式显然成立；

②假设当（）时，等式成立，

即

则当时，

所以当时，等式成立.

由①②知，（）

【领悟技法】

数学归纳法证明等式的思路和注意点

(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．

(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．

【触类旁通】

【变式一】观察下列等式：

；；；；

，

…………

(1)猜想第个等式；

(2)用数学归纳法证明你的猜想.

【答案】(1).(2)答案见解析.

试题解析：

(1).

(2)证明：(i)当时，等式显然成立.

(ii)假设时等式成立，即，

即.

那么当时，左边

，

右边.

所以当时，等式也成立.

综上所述，等式对任意都成立.

【变式二】已知数列中，，

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）猜想的表达式，并用数学归纳法证明．

【答案】(I）；（II）见解析.

【解析】试题分析：（1）由已知直接求出的值；（2）猜想，注意数学归纳法的步骤。

试题解析：(1）；

（2）猜想：

证明：①当n=1时，，猜想成立.

②假设n=k时成立，即，

则当n=k+1时，由得

所以n=k+1时，等式成立.

所以由①②知猜想成立.

考点2利用数学归纳法证明不等式

【2-1】【．用数学归纳法证明（，）成立时，第二步归纳假设的正确写法为（）

A.假设时，命题成立B.假设（）时，命题成立

C.假设（）时，命题成立D.假设（）时，命题成立

【答案】C

【2-2】【2017浙江卷22】已知数列满足：

证明：当时

（I）;

（II）；

(III)

【答案】（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）用数学归纳法可证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，构造函数，利用函数的单调性可证；（Ⅲ）由及，递推可得

那么n=k+1时，若，则，矛盾，故．

因此．

所以，

因此．

（Ⅱ）由得，

．

记函数，

，

函数f(x)在[0，+∞）上单调递增，所以=0，因此

，

故．

（Ⅲ）因为，

所以，

由，得，

所以，

故．

综上，．

【领悟技法】

数学归纳法证明不等式的适用范围及关键

(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．

(2)