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《双曲线的几何性质》教学设计二

教学设计

一、复习引入

复习回顾双曲线的定义及其标准方程，指出本节课将通过焦点在轴上的双曲线来研究双曲线的简单几何性质.

师生活动：教师说明前面已经学习了双曲线的定义及其标准方程，并提问接下来要研究什么问题，学生回答，师生共同回顾双曲线及其标准方程.

设计意图：通过提问，让学生自已体会知识学习的连贯性，即先研究曲线的方程，再通过方程来研究曲线的性质.温故知新，建立新旧知识链接.

二、重点展示

思考：应该如何研究双曲线的简单几何性质？类比椭圆几何性质的研究，你认为应研究双曲线的哪些性质？如何研究这些性质？请小组讨论学习，将研究结果填入所发表格并进行展示双曲线的简单几何性质.

双曲线的简单几何性质

师生活动：教师提出如何研究的问题，学生思考并自然联想到前面学过的椭圆的几何性质的研究过程再以小组为单位进行讨论研究，教师巡视指导，讨论有结果的小组可以派代表进行投影展示，展示后可进行补充纠错.教师补充新知，对相应知识要有提升性总结.

设计意图：引导学生通过类比椭圆简单几何性质的研究过程，合作探究学习双曲线的简单几何性质，在学习的过程中要注意双曲线与椭圆几何性质的区别和联系，培养学生的语言表达能力.

三、难点突破

1.双曲线的渐近线

（1）学习的必要性：学生所画双曲线较为随意，提出问题：如何较为精确地画出双曲线？引导学生先回忆椭圆草图的画法，进而思维迁移，得出双曲线的矩形框，并观察得出只有矩形框、顶点、对称性还不能较为精确地画出双曲线的草图.

（2）信息技术与课堂教学融合：用计算机软件进行观察演示，进一步确定双曲线与矩形框的位置关系.即在矩形框对角线所确定的左右区域内，进一步观察得出双曲线向外无限延展的过程中，矩形框的对角线与双曲线无限靠近但永不相交，进而得出双曲线的渐近线（如图）.

（3）说明:求出渐近线方程,并从双曲线标准方程的角度进行解释说明.

（4）证明:如果是双曲线在第一象限的点,则到直线(即的距离

，

因为当且无限增大时,将无限增大,从而将无限减小并接近于0(但不等于0),即在第一象限内,随着的增大,双曲线会越来越接近直线但不与这条直线相交.

师生活动:教师设置一系列的教学环节,学生通过思维碰撞,借助计算机软件的观察演示过程,体会数学问题解决的过程,培养良好的数学思维品质.

设计意图:双曲线的渐近线是本节课教学的难点,学生以往都是被动接受,对于渐近线的学习多是生搬硬套.而本部分通过设置问题,让学生体会渐近线的作用,并通过观察演示、方程说明等过程，让学生充分理解渐近线，并形成良好的数学学习习惯.

2.双曲线的离心率的作用.

师生活动：教师向学生提出问题：双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何性质？学生以两人为一组进行讨论并展示交流结果.

设计意图：椭圆的离心率刻画了椭圆的圆扁程度，而双曲线的离心率刻画了双曲线的什么性质呢？这是自然能够想到的问题.课堂中应该鼓励学生发现问题、分析问题并解决问题.

四、知识迁移

类比焦点在x轴上的双曲线的性质，给出焦点在y轴上的双曲线性质：

教师引导,学生一起回答.

设计意图:通过前面的学习和研究,学生很快会说出焦点在轴上的双曲线的简单几何性质,体现了知识的迁移.

五、典例展示

例1求下列方程表示的双曲线的实轴长、焦点坐标、离心率以及渐近线方程：

（1）;（2）

解（1）由标准方程可知双曲线的焦点在轴上,且,因此实轴长.

又因为,即.因此,双曲线的焦点坐标为

.

离心率

渐近线方程为

.

(2)已知双曲线的方程可化为

.

由此可知这个双曲线的焦点在轴上,且,因此实轴长.

又因为,即.因此,双曲线的焦点坐标为

.

离心率

.

渐近线方程为

.

师生活动:教学过程中可以鼓励学生对问题进行改编、变式,活学活用,学生口答.

设计意图:巩固双曲线的几何性质,根据双曲线的标准方程写出双曲线的性质.

例2已知双曲线的顶点为,虚轴的一个端点为,且是一个等边三角形,求双曲线的离心率.

解设为坐标原点,则的中点为,且.由是等边三角形可知,因此

.

又因为

，

所以,从而

师生活动:教师请名学生进行板演例2,教师巡视,对学习困难生给予指导与帮助.

设计意图:利用初中所学的几何性质求双曲线的离心率.

例3已知双曲线的左焦点为,且是双曲线上的一点,求的最小值.

解记双曲线的焦距为,则,而且.

设,则

.

又因为是双曲线上一点,所以,即,因此

.

注意到或,而且,所以,当时,最小,且最小值为

.

师生活动：教师请学生进行板演例3并让其他学生针对板演进行点评，指出其中