2024-2025学年北京市东城区第五十中学高三上学期期中考试数学试题（含答案）.docx

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2024-2025学年北京市东城区第五十中学高三上学期期中考试数学试题

一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，复数z满足iz=3?4i，则z的虚部为(????)

A.3i B.?3i C.3 D.?3

2.已知集合A=x∣x?2≤0,B=x∣x2

A.?1,2 B.?3,1 C.?∞,2 D.?∞,3

3.函数fx=3sinωx?π6ω0，fx1=?3，f

A.12 B.1 C.2 D.

4.已知向量a=1,1,b=x,?1，则“x=?1

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件

5.在?ABC中，(a+c)(sinA?sinC)=b(sin

A.π6 B.π3 C.2π3

6.记Sn为数列{an}的前n项和．若a

A.{an}有最大项，{Sn}有最大项 B.{an}有最大项，{Sn}有最小项

7.在等腰梯形ABCD中，AB=?2CD．M为BC的中点，则AM=

A.12AB+12AD B.3

8.已知函数fx=aex?x在区间1,2上单调递增，则实数

A.e2 B.e C.e?1

9.点M,N分别是棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中棱BC,CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1

A.2,5 B.322,

10.已知函数fx=x2?x,x≤0,x?alnx,x0,若?x1

A.?∞,0∪e,+∞ B.e,+∞

C.0,e

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.二项式(x?2x)

12.函数f(x)=1x+1?x

13.已知命题p：?x∈R，ax2+2ax+1≤0，若命题p为假命题，则实数a的取值范围是??????????

14.已知等边?ABC的边长为4，E?,?F分别是AB?,?AC的中点，则EF?EA=??????????；若M?,?N是线段BC上的动点，且MN=1，则EM?

15.如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD

①D

②存在一点P，D1

③若D1O⊥OP，则△D

④若P到直线D1C1的距离与到点B

其中所有正确结论的序号是??????????．

三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.在?ABC中a=1，?b=2．

(1)若c=22，求

(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使?ABC存在，求∠A．

条件①：∠B=2∠A；条件②：∠B=π3+∠A；条件③：

17.如图，在四棱锥P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，?AC=CD=5

(1)求证：PD⊥AB；

(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．

18.人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字(或标点)的搭配情况，数据如下：

“一”与其后面一个字(或标点)的搭配情况

频数

“一个”

6

“一些”

4

“一穷”

2

“一条”

2

其他

a

假设用频率估计概率．

(1)求a的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；

(2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为X，求X的分布列和期望；

(3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库B进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？(结论不要求证明)

19.已知椭圆E:x2a2+y

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点G0,2作直线l交椭圆E于不同的两点A,B，直线PA交y轴于点M，直线PB交y轴于点N.若GM?GN=2

20.已知函数fx=x

(1)求曲线y=fx在点0,f

(2)求fx在区间?1,1

(3)当a=1时，求证：fx≥

21.对于数列A:a1，a2，a3，定义“T变换”：T将数列A变换成数列B:b1，b2，b3，其中bi=ai?ai+1(i=1,2)，且b

(1)直接写出A:2，6，4经过1次“T变换”得到的数列B，及B再经过3次“T变换”得到的数列E；

(2)若A经过n次“T变换”后变换结束，求n的最大值；

(3)设A:a1,a2,a3ai∈N,i=1,2,3，