河北省衡水中学2025届高三上学期期中综合素质评价数学试卷（含答案）.docx

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河北省衡水中学2025届高三上学期期中综合素质评价数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z满足iz=1?3i，则z=(????)

A.5 B.10 C.5

2.设全集U=?2,?1,0,1,2,3，集合A=?1,2,B=x∣x

A.1,3 B.0,1,3 C.?2,1 D.?2,0,1

3.用平行于底面的平面截正四棱锥，截得几何体为正四棱台.已知正四棱台的上?下底面边长分别为1和2，侧棱与底面所成的角为π4，则该四棱台的体积是(????)

A.76 B.726 C.

4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a

A.60 B.72 C.120 D.144

5.已知两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则下列条件能推出α//β的是(????)

A.l?α，m?α，且l//β，m//β B.l?α，m?β，且l//m

C.?l⊥α，m⊥β，且l//m D.l//α，m//β，且l//m

6.函数fx=ex+x?4,x1lnx,x≥1，若

A.?1 B.?∞,?1 C.??1,+∞ D.?1,?

7.在同一平面直角坐标系内，函数y=f(x)及其导函数y=f’(x)的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为(0,1)，则(????)

A.函数y=f(x)+x的最大值为1 B.函数y=exf(x)的最小值为1

C.函数y=f(x)?ex的最大值为1

8.如图，在棱长为5的正方体ABCD?A′B′C′D′中，M是侧面ADD′A′上的一个动点，点P为线段CC′上，且PC′=2,则以下命题正确的是(??)(动点的轨迹：指动点运动所形成的图形)

A.沿正方体的表面从点A到点P的最短距离是109

B.保持PM与BD′垂直时，点M的轨迹长度为32

C.若保持PM=26，则M的轨迹长度为43

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.以下是真命题的是(????)

A.已知，为非零向量，若a+ba?b，则与的夹角为锐角

B.已知，，为两两非共线向量，若a?b=a?c，则a⊥b?c

C.在三角形

10.已知定义在R上的函数fx，gx，其导函数分别为f′x，g′x，f1?x=6?g′1?x，

A.gx的图象关于x=1对称 B.g′x+6=g′x

C.

11.已知△ABC中，AB⊥BC,AB=BC=2，E，F分别在线段BA，CA上，且BE=λBA，CF=λCA(λ∈(0,1)).现将△AEF沿EF折起，使二面角A?EF?C的大小为

A.若λ=12，α=π3，则点F到平面ABC的距离为32

B.存在λ使得四棱锥A?BCFE有外接球

C.若λ=13，则三棱锥F?AEB体积的最大值为1681

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=1，AA1=2，D为

13.如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为(45,?35)，∠AOC=α，若BC=1，则

14.曲线y=lnx在Ax1,y1，Bx2,y2两点处的切线分别为l1，l2，且l1⊥l

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知△ABC的面积为203，O为边BC的中点，OA=5，

(1)求边BC的长;

(2)求角C的正弦值．

16.(本小题15分)

如图，三棱台ABC?A1B1C1中，△ABC是正三角形，A1A⊥平面ABC，AB=2A1A=2

(1)证明：B1B⊥

(2)求直线C1C与平面MCN

17.(本小题15分)

已知数列an和bn满足，a1=2，b

(1)求an与b

(2)记数列cn的前n项和为Tn，且cn=1bnb

18.(本小题17分)

如图，四棱锥P?ABCD的底面ABCD为正方形，E，F分别为PA，PC的中点，且平面PBD⊥平面BEF．

(1)证明：PA=PC；

(2)若PB=2PD，当四棱锥P?ABCD的体积最大时，求平面PAB与平面

19.(本小题17分)

设y=fx是定义域为D且图象连续不断的函数，若存在区间a,b?D和x0∈a,b，使得y=fx在a,x0上单调递增，在x0

(1)判断gx

(2)已知m1，?x=m+2x?x

(3)设n∈R，函数Ix=x3?2nx2+4n?4xlnx?13x3+nx2?4n?4x.

参考答案

1.B?

2.C?

3.B?

4.B?

5.C?

6.A?

7.B?

8.B?