线性代数 第六版 第五章 二次型.pptx

1二次型第五章

2本章讨论把一个n元二次齐次多项式化为仅含有完全平方项的和的形式，并研究有关的性质。

3第一节二次型与对称矩阵(一)二次型及其矩阵定义称为一个(n元)二次型.本课程只讨论实二次型，即系数全是实数的二次型。

4于是上述二次型可以写成如下求和形式

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6记则上述二次型可以用矩阵形式表示为A称为二次型的矩阵。

7A的秩称为该二次型的秩。A称为二次型的矩阵。A是一个实对称矩阵。事实上，由一个实对称矩阵也可构造唯一的实二次型，也就是说，实二次型与实对称矩阵是一一对应的，所以，研究二次型的性质可以转化为研究它的矩阵A所具有的性质。

8例1写出二次型的矩阵。解

9练习设二次型求二次型的矩阵A和二次型的秩。解所以r(A)=3，即二次型的秩等于3。

10练习设二次型的矩阵A和二次型的秩，解所以二次型f的矩阵为

11(二)线性变换在平面解析几何中，为了确定二次方程所表示的曲线的性态，通常利用转轴公式：

12定义关系式记则上述线性变换可以写成矩阵形式：

13C称为该线性变换的矩阵。如果C为正交矩阵，则此线性变换称为正交变换。容易验证，转轴公式是一个正交变换。

14(三)矩阵的合同关系由于C是可逆矩阵，所以A和B秩相等，从而两个二次型的秩相等。

15定义与矩阵的相似关系类似，矩阵之间的合同关系也具有以下性质：(1)反身性：(2)对称性：(3)传递性：AAABBAABBCAC证明只证(3)，其余留作练习。

16第二节二次型与对称矩阵的标准型

17(一)二次型的标准形定义下面介绍二次型化为标准形的方法。

181、用拉格朗日配方法化二次型为标准形拉格朗日配方法的基本步骤：2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方。1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;

19例1用配方法化二次型解为标准形，并写出对应的可逆线性变换。

20标准形为所用变换矩阵为

21例1用配方法化二次型解为标准形，并写出对应的可逆线性变换。含有平方项去掉配方后多出来的项

22标准形为所用变换矩阵为

23例2用配方法化二次型解为标准形，并写出对应的可逆线性变换。所给二次型中无平方项，所以先作线性替换原二次型化为

24再配方，得标准形为

25所用变换矩阵为对应的线性变换为

26为标准形，并写出对应的可逆线性变换。解所给二次型中无平方项，所以先作线性变换练习用配方法化二次型

27所用可逆线性替换为

28(二)用正交变换法化二次型为标准形定理任何二次型都可以通过正交变换化为标准形。而由正交阵性质可知，因此这样的正交

29用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：

30例4用正交变换将二次型解化为标准形，并求所作的正交变换。二次型的矩阵以及正交矩阵

31于是所求正交变换为标准形为

32练习用正交变换将二次型解化为标准形，并求所作的正交变换。二次型的矩阵

33

34再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵正交化，

35于是所求正交变换为标准形为

36练习用正交变换将二次型解化为标准形，并求所作的正交变换。二次型的矩阵全加法

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38

39正交化，

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41再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵所作正交变换为标准形为

42例5已知二次型解二次型的矩阵

43单位化后拼起来，即得所求正交变换x=Qy的矩阵为

44练习解

45由题意,这两个矩阵相似,

46化为标准型，并指出表示何种二次曲面.练习求一正交变换，将二次型解对应特征向量为

47再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵二次型的标准形

48(四)二次型与对称矩阵的规范形一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的。但是，标准形中系数不为零的项数是确定的，项数等于二次型的秩。实际上，不仅标准形中的非零系数的个数是确定的，其中正的系数个数和负的系数个数也被原二次型所确定，这就是下面的“惯性定理”。

49定理(惯性定理)p为正惯性指数,正负惯性指数的差称为二次型的符号差.为负惯性指数,无论用