上海市杨浦高级中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题.docx

杨浦高中2024学年第一学期高三年级数学期中

2024.11

一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．不等式的解集是________．（结果用区间表示）

2．已知全集，集合，；则________．（结果用区间表示）

3．已知函数，则________．

4．函数的最小正周期为________．

5．已知向量，若，则________．

6．在二项式的展开式中，前三项的系数依次成________数列．（填写“等差”或“等比”）

7．已知函数的导数存在，的部分图像如图所示，设是由曲线与直线，及轴围成的平面图形的面积，则在区间上，的最大值在________处取到.

8．班级4名学生报名参加两项区学科竞赛，每人至少报一项，每项比赛参加的人数不限，则不同的报名结果有________种．（结果用具体数字表示）

9．过抛物线的焦点，倾科角为直线交抛物线于，两点，则的值为________．

10．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为0.8；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为0.5．若他第2球投进的概率为0.725，则他第1球投进的概率为________．

11．,,,的位置如图所示，其中，，公里，公里，公里，位于的北偏东方向．现在有一艘轮船认出发沿直线航行，一段时间到达后，轮船收到指令改向城市直线航行；收到指令时城市对于轮船的方位角是南偏西，则________．

12．已知空间单位向量，，，，，则的最大值是________．

二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）．

13．函数是（）．

A．奇函数，且有一个极值点 B．奇函数，且没有极值点

C．偶函数，且有一个极值点 D．偶函数，且没有极值点

14．已知，，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

15．设等比数列的公比为前项和为，若，，则符合条件的数列的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

16．已知，则下列结论正确的个数是（）

①存在实数解；

②共有20个不同的复数解；

③复数解的模长都等于1；

④存在模长大于1的复数解．

A．0 B．1 C．2 D．3

三、解答题（满分78分，共有5题）．

17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．

已知函数为奇函数．

（1）求的值并直接写出的单调性（无需说明理由）；

（2）若存在实数，使得成立，求实数的取值范围．

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题8分，第2小题8分．

如图所示，已知三棱合中，，，，，．

（1）求二面角的余弦值；

（2）设、分别是棱、的中点，若平面，求棱台的体积．

19．（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分．

某市举办了“智慧城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求频率分布直方图中的值；

（2）估计样本成绩的；

（3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．

20．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.

如图，在平面直角坐标系中，该点是椭圆上一点，从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点，，直线、的斜率分别记为，．

（1）若圆与轴相切于椭圆的右焦点，求圆的方程；

（2）若，求证为定值并求出该定值；

（3）在（2）的情况下，求的最大值．

21．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．

已知，函数，，．

（1）当时，证明：；

（2）若恒成立，求的取值范围；

（3）设集合，对于正整数，集合，记中元素的个数为，求数列的通项公式．

参考答案

一、填空题

1.;2.;3.;4.;5.;6.等差;7.;8.;9.;10.；11.12.

11．,,,的位置如图所示，其中，，公里，公里，公里，位于的北偏东方向．现在有一艘轮船认出发沿直线航行