2010-2014海南中考数学几何大题(含答案) .pdfVIP

23．（13分）（2014•海南）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD，BC

于点E，F，作BH⊥AF于点H，分别交AC，CD于点G，P，连接GE，GF．

（1）求证：△OAE≌△OBG；

（2）试问：四边形BFGE是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由；

（3）试求：的值（结果保留根号）．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°．∵BH⊥AF，

∴∠AHG=90°，

∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH，∴∠GAH=∠OBG，即∠OAE=∠OBG．

∴在△OAE与△OBG中，，∴△OAE≌△OBG（ASA）；

（2）四边形BFGE是菱形，理由如下：∵在△AHG与△AHB中，

∴△AHG≌△AHB（ASA），∴GH=BH，∴AF是线段BG的垂直平分线，

∴EG=EB，FG=FB．∵∠BEF=∠BAE+∠ABE=67.5°，∠BFE=90°﹣∠BAF=67.5°

∴∠BEF=∠BFE∴EB=FB，∴EG=EB=FB=FG，∴四边形BFGE是菱形；

（3）设OA=OB=OC=a，菱形GEBF的边长为b．∵四边形BFGE是菱形，∴GF∥OB，

∴∠CGF=∠COB=90°，∴∠GFC=∠GCF=45°，∴CG=GF=b，

（也可由△OAE≌△OBG得OG=OE=a﹣b，OC﹣CG=a﹣b，得CG=b）

∴OG=OE=a﹣b，在Rt△GOE中，由勾股定理可得：2（a﹣b）22

=b，求得a=b

∴AC=2a=（2+）b，AG=AC﹣CG=（1+）b

∵PC∥AB，∴△CGP∽△AGB，

∴===﹣1，

由（1）△OAE≌△OBG得AE=GB，∴==﹣1，即=﹣1．

1

23．2013（13分）（1）如图（1）点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），

点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP，DE．

求证：△BCP≌△DCE；

如图（2）直线EP交AD于F，连接BF，FC．点G是FC与BP的交点．

①若CD=2PC时，求证：BP⊥CF；

②若CD=n•PC（n是大于1的实数）时，记△BPF的面积为S，△DPE的面积为S．

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求证：S=（n+1）S．

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证明：（1）在△BCP与△DCE中，

，

∴△BCP≌△DCE（SAS）．

（2）①∵CP=CE，∠PCE=90°，

∴∠CPE=45°，

∴∠FPD=∠CPE=45°，

∴∠PFD=45°，

∴FD=DP．

∵CD=2PC，

∴DP=CP，

∴FD=CP．

在△BCP与△CDF中，

，

∴△BCP≌△CDF（SAS）．

∴∠FCD=∠CBP，

∵∠CBP+∠BPC=90°，

∴∠FCD+∠BPC=90°，∴∠PGC=90°，即BP⊥CF．

②证法一：设CP=CE=1，则BC=CD=n，DP=CD﹣CP=n﹣1．

易知△FDP为等腰直角三角形，

∴FD=DP=n﹣1．