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2025年湖南省中考数学一轮复习题型探究-

题型5圆的综合学生版

类型1与圆的性质有关的计算及证明

【例1】(2024·深圳中考)如图,在△ABD中,AB=BD,☉O为△ABD的外接圆,BE为☉O的切线,AC为☉O的直径,连接DC并延长交BE于点E.

(1)求证:DE⊥BE;

(2)若AB=56,BE=5,求☉O的半径.

【方法技巧】

利用圆的基本性质解决问题常见的辅助线

(1)连半径构成等腰三角形;

(2)有弦时,作垂径,过弦的一个端点引半径,构造直角三角形,用垂径定理和勾股定理;

(3)有直径时,作出这条直径所对圆周角、构造直角三角形求解.

【变式训练】

1.(2024·苏州中考)如图,△ABC中,AB=42,D为AB中点,∠BAC=∠BCD,

cos∠ADC=24,☉O是△ACD的外接圆

(1)求BC的长;

(2)求☉O的半径.

2.(2024·新疆中考)如图,在☉O中,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,AD=BD.

(1)求证:△ACD∽△ECB;

(2)若AC=3,BC=1,求CE的长.

类型2与圆的切线有关的计算及证明

【例2】(2024·江西中考)如图,AB是半圆O的直径,点D是弦AC延长线上一点,连接BD,BC,∠D=∠ABC=60°.

(1)求证:BD是半圆O的切线;

(2)当BC=3时,求AC的长.

【方法技巧】

证明某条直线是圆的切线的方法

若直线与圆有公共点,则“连半径,证垂直”;若没有给出直线与圆的公共点,则“作垂直,证半径”.

(1)当图中有90°角时:①利用等角代换得垂直;②利用平行线得垂直;③利用三角形全等证得垂直.

(2)当图中没有90°角时,需要构造:①若图中有已知直径,则利用直径所对的圆周角是90°,构造直角;②若图中有等腰三角形,则利用等腰三角形“三线合一”的性质构造直角.

【变式训练】

3.(2024·雅安中考)如图,AB是☉O的直径,点C是☉O上的一点,点P是BA延长线上的一点,连接AC,∠PCA=∠B.

(1)求证:PC是☉O的切线;

(2)若sin∠B=12,求证:AC=AP

(3)若CD⊥AB于D,PA=4,BD=6,求AD的长.

4.(2024·自贡中考)在Rt△ABC中,∠C=90°,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F.

(1)图1中三组相等的线段分别是CE=CF,AF=,BD=;若AC=3,BC=4,则☉O半径长为;?

(2)如图2,延长AC到点M,使AM=AB,过点M作MN⊥AB于点N.求证:MN是☉O的切线.

类型3与圆有关的动点问题

【例3】(2024·德阳中考)已知☉O的半径为5,B、C是☉O上两定点,点A是☉O上一动点,且∠BAC=60°,∠BAC的平分线交☉O于点D.

(1)证明:点D为BC上一定点;

(2)过点D作BC的平行线交AB的延长线于点F.

①判断DF与☉O的位置关系,并说明理由;

②若△ABC为锐角三角形,求DF的取值范围.

【变式训练】

5.(2024·凉山州中考)如图,☉M的圆心为M(4,0),半径为2,P是直线y=x+4上的一个动点,过点P作☉M的切线,切点为Q,则PQ的最小值为27.?

6.(2024·绥化中考)如图1,O是正方形ABCD对角线上一点,以O为圆心,OC长为半径的☉O与AD相切于点E,与AC相交于点F.

(1)求证:AB与☉O相切;

(2)若正方形ABCD的边长为2+1,求☉O的半径;

(3)如图2,在(2)的条件下,若点M是半径OC上的一个动点,过点M作MN⊥OC交CE于点N.当CM∶FM=1∶4时,求CN的长.

7.(2024·广州中考)如图,在菱形ABCD中,∠C=120°.点E在射线BC上运动(不与点B,点C重合),△AEB关于AE的轴对称图形为△AEF.

(1)当∠BAF=30°时,试判断线段AF和线段AD的数量和位置关系,并说明理由;

(2)若AB=6+63,☉O为△AEF的外接圆,设☉O的半径为r.

①求r的取值范围;

②连接FD,直线FD能否与☉O相切?如果能,求BE的长度;如果不能,请说明理由.

2025年湖南省中考数学一轮复习题型探究-

题型5圆的综合教师版

类型1与圆的性质有关的计算及证明

【例1】(2024·深圳中考)如图,在△ABD中,AB=BD,☉O为△ABD的外接圆,BE为☉O的切线,AC为☉O的直径,连接DC并延长交BE于点E.

(1)求证:DE⊥BE;

(2)若AB=56,BE=5,求☉O的半径.

【自主解答】(1)连接DO,BO并延长交AD于点H,如图,

∵AB=BD,OA=OD,

∴BO垂直平分AD,

∴∠BHD=90°,

∵BE为☉O的切线,

∴OB⊥BE,

∴∠OBE=90°,

∵AC为☉O的直径,