2024届高中数学《圆和圆的位置关系》导学案 北师大版必修2.doc

第课时圆和圆的位置关系

1理解圆与圆的位置的种类

2利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长(圆心距)

3会用连心线长判断两圆的位置关系

古时候,人们不懂得月食发生的科学道理,像害怕日食一样,对月食也心怀恐惧外国有人传说,16世纪初,哥伦布航海到了南美洲的牙买加,与当地的土著人发生了冲突哥伦布和他的水手被困在一个墙角,断粮断水,情况十分危急懂点天文知识的哥伦布知道这天晚上要发生月全食,就向土著喊,“再不拿食物来,就不给你们月光!”到了晚上,哥伦布的话应验了,果然没有了月光土著人见状诚惶诚恐,赶快和哥伦布化干戈为玉帛你能否从月食过程归纳出圆与圆有哪几种位置关系呢?

问题1:圆与圆的位置关系可分为五种:相离外切相交内切内含?

判断圆与圆的位置关系常用方法:

(1)几何法:设两圆圆心分别为O1O2,半径为r1r2(r1≠r2),则|O1O2|r1+r2?相离;|O1O2|=r1+r2?外切;|r1r2||O1O2|r1+r2?相交;|O1O2|=|r1r2|?内切;0≤|O1O2||r1r2|?内含?

(2)代数法:设两圆方程分别为x2+y2+D1x+E1y+F1=0和x2+y2+D2x+E2y+F2=0,联立方程组,若方程组有两组不同的实数解,则两圆相交;若方程组有一组实数解,则两圆相切;若方程组无实数解,则两圆相离或内含代数法无法判断具体是哪种,因此一般不用?

问题2:如何判断两个圆公切线的条数?如何求公切线方程和长度?

(1)两个圆公切线条数和两个圆位置关系的关系

①当两个圆外离时,有四条公切线:两条外公切线,两条内公切线?

②当两个圆外切时,有三条公切线:两条外公切线,一条内公切线?

③当两个圆相交时,有两条外公切线?

④当两个圆内切时,有一条外公切线?

⑤当两个圆内含时,无公切线

(2)公切线方程的求法

根据条件用待定系数法设出方程,利用圆心到直线的距离d与半径r,建立方程组求出待定系数,从而得到切线方程,注意不要遗漏斜率不存在的情况

(3)公切线长的求法(两圆相离)

利用两个圆圆心距(d)两个圆半径(r1r2)和公切线长(l)组成的直角梯形或直角三角形来求解

①外公切线长l=

②内公切线长l=

问题3:两个圆相交时,如何求相交弦的方程?

设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,联立得方程组

两个圆的方程相减得(D1D2)x+(E1E2)y+(F1F2)=0,即为两个圆相交弦所在的直线方程

问题4:如何求经过两个圆交点的圆系方程?

设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,则经过两个圆交点的圆系方程可表示为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠1)

对该方程要注意两点:一是该方程包含圆C1,不包含圆C2,具体应用时要注意检验C2是不是问题的解;二是若已知两个圆相切,则在圆系方程中的任何两个圆一定相切

1圆x2+y22x=0和圆x2+y2+4y=0的位置关系是()

A相离 B外切 C内切 D相交

2圆C1:x2+y2+2x+2y2=0与圆C2:x2+y24x2y+1=0的公切线有且仅有()

A1条 B2条 C3条 D4条

3若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay6=0(a0)的公共弦的长为2,则a=?

4求与已知圆x2+y27y+10=0相交,公共弦平行于直线2x3y1=0,且过点(2,3)(1,4)的圆的方程

圆和圆的位置关系的判定

已知圆C1:x2+y22mx+4y+m25=0,圆C2:x2+y2+2x2my+m23=0当m为何值时,(1)圆C1与圆C2相外切;(2)圆C1与圆C2内含

圆和圆的相交弦问题

已知圆C1:x2+y2+2x6y+1=0,圆C2:x2+y24x+2y=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长

圆与圆相交的连心线问题

已知圆C1:x2+y24x2y5=0与圆C2:x2+y26xy9=0

(1)求证:这两个圆相交

(2)求这两个圆公共弦所在的直线方程

(3)在平面上找一点P,过P点引这两个圆的切线并使它们的长都等于6

已知两圆x2+y22x6y1=0和x2+y210x12y+m=0求:

(1)m取何值时两圆外切?

(2)m取何值时两圆内切?

(3)m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长

已知圆O1:x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心坐标为(2,1),且两圆外切,求圆O2的方程,并求内公切线的方程

求过圆C1:x2+y2+6x4=0和圆C2:x2+y2+6y28=0的交点,且圆心在直线xy4=0上的圆