2024年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（北京卷，含答案）.doc

2024年普通高等学校招生全国统一考试北京卷

文科数学

本试卷共6，150分。考试时长120分钟，。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

1若集合，，则（）

ABCD

2下列函数中，定义域是且为增函数的是（）

ABCD

3已知向量，，则（）

ABCD

4执行如图所示的程序框图，输出的值为（）

ABCD

5设是实数，则“”是“”的（）

A充分而不必要条件B必要而不必要条件

C充分必要条件D既不充分不必要条件

6已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）

ABCD

7已知圆和两点，，若圆上存在点

，使得，则的最大值为（）

ABCD

8加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”咋特定条件下，可食用率

与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系（是常数），下图

记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）

A分钟B分钟C分钟D分钟

第2部分（非选择题共0分）

二填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9若，则

10设双曲线的两个焦点为，，一个顶点式，则的方程为

某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为

12在中，，，，则；

13若满足，则的最小值为

14顾客请一位工艺师把两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这

项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都

完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：

工序

时间

原料

粗加工

精加工

原料

原料

则最短交货期为工作日

三解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15（本小题满分13分）已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前项和

16（本小题满分13分）函数的部分图象如图所示

（1）写出的最小正周期及图中的值；

（2）求在区间上的最大值和最小值

17（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，分别为的中点

（1）求证：平面平面；

（2）求证：平面；

（3）求三棱锥的体积

18（本小题满分13分）

从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：

（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；

（2）求频率分布直方图中的a，b的值；

（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）

19（本小题满分14分）

已知椭圆C：

求椭圆C的离心率；

（2）设O为原点，若点A在直线，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度的最小值

20（本小题满分13分）

已知函数

（1）求在区间上的最大值；

（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；

（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）