高等数学（工科类）课件 第六章 向量与空间解析几何.pptx

;情景与问题;引例2学校新购置了一批投影仪，需要在教室内进行安装，教室长16m、宽8m、高3m.若综合各种因素，该批次投影仪的最佳投影距离（即投影仪与幕布中心的距离）为5m,且投影仪安装后支架与墙顶距离为20cm，试问投影仪吊装到屋顶墙面的什么位置最好？

分析假设幕布的中心就在教室墙面的正中心，投影仪安装应该在教室屋顶墙面的竖向中心线上.要达到最佳投影距离，就应满足安装后投影仪与幕布中心的距离恰好为5m.显然，教室是空间立体结构，需要考虑如何计算投影仪和幕布中心两者间的最佳距离，最终求解出投影仪的最佳安装位置.

下面，我们就通过对空间直角坐标系的学习来解决如上类似问题.;抽象推理;在空间直角坐标系中，任意两条坐标轴可以确定一个平面，称作坐标面，即面、面、面.这三个坐标面将空间分割成八个部分，每一个部分称作一个卦限，如图6-3所示.

设为空间任意一点，过分别作垂直于三个坐标轴的平面，与三个坐标轴分别相交于点、和，这三个点在三个坐标轴上的坐标分别为、和，则点唯一确定了有序数组、和，用表示.反过来，如果给定一有序数组，和它们分别对应轴、轴和轴上的点、和，过这三点分别作三个坐标轴的垂面，则这三个平面相交于唯一点.这样,空间的点与有序数组之间建立起了一一对应的关系.称为点的坐标，其中三个数、和分别称为点的横坐标、纵坐标和竖坐标．

比如，原点的坐标为，轴、轴和轴上点的坐标分别为、和.、和平面上的点的坐标分别为、和，如图6-4所示.;6.1.2空间两点间距离公式;拓展：欧式距离也称欧几里得距离，以古希腊数学家欧几里得命名，是最常见的距离度量，衡量的是多维空间中两个点之间的绝对距离，也是我们直观的“两点之间直线最短”的直线距离。

二维空间中的欧式距离就是平面两点之间的距离，公式为：

三维空间中的欧式距离的就是空间两点之间的距离，公式为：

推广到维空间，若两点间坐标为和，则欧式距离公式就是：

;例1求两点，之间的距离.;探究：北斗卫星导航系统

北斗卫星导航系统是国家重大科技工程，工程自1994年启动，2000年完成北斗一号建设，2012年完成北斗二号建设，2020年北斗三号建成并开通服务.至此，我国成为世界上第三个独立拥有全球卫星导航系统的国家.

随着北斗系统建设和服务能力的发展，相关产品逐步渗透到人类社会生产和人们生活的方方面面，为全球经济和社会发展注入新的活力.目前，全球已有120余个国家使用北斗系统.2022年上半年，仅手机地图导航中，北斗定位服务日均使用量已突破1000亿次.那么，你知道卫星定位导航系统是如何实现精准定位的么？;应用与实践;案例2引例1的求解.

解首先将教室置于空间直角坐标系中（如图6-8所示）.根据已知，设所求投影仪坐标为，幕布中心点坐标为.由空间两点间距，解得.

因此，投影仪的最佳安装位置为空间坐标处.;情景与问题;引例3试分析运动电荷在磁场中受到洛伦兹力的作用.

分析由中学的物理知识知道，如果一个运动的单位正电荷在磁场中所受的力为，则它的大是

，其中是带点粒子的速度，是磁场强度，是指与之间的夹角.力的方向垂直于和所决定的平面，且、和三个向量的方向符合右手螺旋法则（即假定右手的大拇指垂直于食指和中指，当食指指向向量的方向，中指指向向量的方向，那么大拇指指向就是的方向）.这个力称为洛伦兹力.与洛伦兹力类似的例子在物理学及其他学科中还有不少，在数学上我们将它称为向量的向量积.;抽象推理;向量的位置关系：

(1)向量平行：两个非零向量的方向相同或相反，称为两向量平行，用表示.由于零向量的方向是任意的，视作零向量与任意向量平行.

(2)两向量共线:两向量平行时,当将起点放在一