高等数学（工科类）课件 第三章 导数的应用.pptx

新时代高职数学系列教材高等数学（工科类）

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第三章导数的应用第一节微分中值定理与洛必达法则

情景与问题?图3-1

?引例2求极限：?而非??

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?图3-4

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启迪：从以上学习中我们了解到，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形.罗尔定理是特殊的、静止的、条件相对严格的；拉格朗日中值定理着眼在变化的瞬间，是运动的、相对的、稍微放宽条件的；柯西中值定理着眼在更为一般的两个运动中，是运动的、相对的、更宽条件和具有普遍意义的.通过不断的放宽条件，数学家们得到了越来越普遍的真理.这个过程不仅是理论上的进步，也是马克思主义哲学理论中特殊与普遍性原理的体现.当你看待问题的视角更发展、更宽泛时，会获得更多、更进步、更具有普遍意义的结果.

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?应用与实践

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第三章导数的应用第二节函数的单调性、极值与最值

情景与问题引例12004年7月，北京奥组委宣布将2008年8月8日晚上8点定为北京2008年奥运会倒计时钟的落脚点.这意味着北京奥运会的开幕时间将推迟两周，奥运会的举行时间由原定的7月25日至8月10日推迟至8月8日至24日.你知道其中的原因吗？分析其实这和北京地区的气温有关.在气象灾害中高温不算重要问题，可是对于奥运会来说却成了头等大事.在高温的天气下参赛，容易导致运动员脱水，肌肉就会发生痉挛，甚全容易出现热衰竭，这种情况在马拉松运动中较为常见.为了保障奥运健儿能赛出优异成绩，对北京地区气温的检测从申奥成功后就开始了.气象部门对北京历年7月下旬到8月底的温度进行研究发现，气温从7月中旬开始呈现上升的趋势，在7月25日前后达到局部最高温度后，气温呈现出整体下降的特点

怎样用数学语言刻画“随着时间的增大气温逐步升高或逐步降低”这一特征？图3-5是根据历年的7、8月份平均气温拟合的北京地区气温曲线.从图中可以直观的观察到在不同的区间上温度的变化呈现出单调性的特点，25日之前，气温随时间单调递增，25日之后，气温随时间单调递减，25日则是气温达到极大值的时刻.我们已经会用初等数学的方法研究一些函数的单调性.但这些方法对于复杂变化的函数而言讨论单调性会非常困难.其实函数的单调性与导数的正负有着密切的联系，见图3-6.我们将学习通过函数的导数符号来判断其单调性.图3-5图3-6

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??图3-9

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定理3.7(极值点第一充分条件)设函数在点的某一去心邻域内可导，且在点连续.则(1)如果在点的左邻域内有,在点的右邻域内有,则是的极大值点；(2)如果在点的左邻域内有，在点的右邻域内有，则是的极小值点；(3)如果在点的去心邻域内恒为正或恒为负，则不是的极值点.证明从略.根据定理3.7,求函数的极值点和极值的步骤为：第一步，确定函数定义域；第二步，求导数第三步，求全部驻点和导数不存在的点；第四步，对每个驻点和导数不存在的点，考察在其左右邻域的符号，以便确定该点是否为极值点，如果是极值点，再根据定理3.7确定对应的函数值是极大值还是极小值；第五步，求出各极值点处的函数值，就得到的全部极值.

?极大值极小值

例5求函数的极值.解函数的定义域为.，令，得驻点，.又，因为，，所以极大值，极小值.注：时，在点处不一定取极值，此时仍用第一充分条件进行判断.例6求函数的极值.解函数的定义域为.，令，得驻点.又.因为，所以极小值.而，不能用第二充分条件判断，转用第一充分条件判断.当时，；当时