专项24-弧、弦、角、距的关系-重难点题型.docx

弧、弦、角、距的关系-重难点题型

【知识点1弧、弦、角、距的概念】

（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．

（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．

【题型1弧、弦、角、距的概念】

【例1】（浦东新区模拟）下列四个命题：

①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；

②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；

③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；

④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．

真命题的个数有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式1-1】（西林县期末）下列说法中，正确的是（）

A．等弦所对的弧相等

B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等

C．圆心角相等，所对的弦相等

D．弦相等所对的圆心角相等

【变式1-2】在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等，那么，它们所对应的其它量也相等．如图，AB、CD是⊙O的两条弦

①若AB＝CD，则有＝，＝

②若弧AB＝弧CD，则有＝，＝

③若∠AOB＝∠COD，则有＝，＝．

【变式1-3】如图，PO是直径所在的直线，且PO平分∠BPD，OE垂直AB，OF垂直CD，

则：①AB＝CD；②弧AB等于弧CD；③PO＝PE；④弧BG等于弧DG；⑤PB＝PD；其中结论正确的是（填序号）

【题型2由弧、弦、角、距的关系求角度】

【例2】（新化县期末）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是BE的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为（）

A．40° B．60° C．80° D．120°

【变式2-1】（项城市三模）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若AD=150°，∠A＝75°，∠D＝60°，则BC

A．25° B．40° C．50° D．60°

【变式2-2】如图，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为（）

A．125° B．120° C．130° D．115°

【变式2-3】（下城区一模）如图，点A，点B，点C在⊙O上，分别连接AB，BC，OC．若AB＝BC，∠B＝40°，则∠OCB＝．

【题型3由弧、弦、角、距的关系求线段】

【例3】（思明区校级期中）如图，在⊙O中，若AB=CD，且AD＝3，求

【变式3-1】（滨海新区期中）如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是AN的中点，点B是点B关于MN的对称点，⊙O的半径为1，则AB的长等于（）

A．1 B．2 C．3 D．2

【变式3-2】（青浦区二模）如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝23，∠AMC＝120°，那么OM的长为．

【变式3-3】如图，在半径为4的⊙O中，AB和CD度数分别为36°和108°，弦CD与弦AB长度的差为．

【题型4弧、弦、角、距中的比较问题】

【例4】（莘县期中）如图，在同圆中，弧AB等于弧CD的2倍，试判断AB与2CD的大小关系是（）

A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．不能确定

【变式4-1】（鼓楼区校级月考）如图，在⊙O中，AC=2AB

A．AB＝AC B．AC＝2AB C．AC＜2AB D．AC＞2AB

【变式4-2】（睢宁县校级月考）如图所示，AB是⊙O直径，CM是AO的垂直平分线，DN是OB的垂直平分线，则下列结论正确的是（）

A．AC=CD=DB B．AC=DB

【变式4-3】（顺义区期末）如图，在⊙O中，若AB=BC=CD，则AC与2CD的大小关系是：AC

【题型5弧、弦、角、距中的证明问题】

【例5】（秦淮区二模）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AB＝CD．求证PB＝PD．

【变式5-1】（武汉模拟）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．

【变式5-2】（硚口区模拟）如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：

（1）AC＝BD；

（2）CE＝BE．

【变式5-3】（江都区月考）已知，如图，AB是⊙O的直径，M，N分别为AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N．

求证：AC＝BD．

【