2025届高考数学二轮复习-隐零点问题课件.pptxVIP

2025高考数学二轮复习隐零点问题

导函数的零点在很多情况下是无法直接求解出来的,我们称之为“隐零点”,既能确定其存在,但又无法用显性的代数方法进行表达.这类问题的解题思路是对导函数的零点设而不求,通过整体代换和过渡,再结合题目条件解决问题.

角度一不含参函数的隐零点问题例1(2024山东威海二模)已知函数f(x)=lnx-ax+1.(1)求f(x)的极值;(2)证明:lnx+x+1≤xex.

角度二含参函数的隐零点问题例2(2024江苏模拟预测)已知函数f(x)=ax-elogax-e,其中a1.(1)若a=e,证明f(x)≥0;(2)讨论f(x)的极值点的个数.(1)证明当a=e时,f(x)=ex-elnx-e,f(x)=ex-,f(1)=0,f(1)=0,又易知f(x)在(0,+∞)内为增函数,所以当0x1时,f(x)0,f(x)单调递减;当x1时,f(x)0,f(x)单调递增,从而f(x)≥f(1)=0.

设g(x)=xaxln2a-e,a1,显然函数g(x)在(0,+∞)内单调递增,g(x)与f(x)同号,①当ae时,g(0)=-e0,g(1)=aln2a-e0,所以函数g(x)在(0,1)内有一个零点x0,且x∈(0,x0),g(x)0,x∈(x0,+∞),g(x)0,故f(x)在(0,x0)内单调递减,在(x0,+∞)内单调递增,所以函数f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个极值点;②当a=e时,由(1)知,函数f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个极值点;

且当x∈(0,x1)时,g(x)0,当x∈(x1,+∞)时,g(x)0,故f(x)在(0,x1)内单调递减,在(x1,+∞)内单调递增,所以函数f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个极值点.综上所述,函数f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个极值点.

针对训练1.(2024浙江杭州模拟)已知函数f(x)=(x+a)lnx-x2.(1)若f(x)在其定义域内单调,求实数a的取值范围;(2)若a=2,f(x)的极大值为M,证明:M0.

当x∈(0,1)时,F(x)0,F(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,F(x)0,F(x)单调递减,故F(x)max=F(1)=0,故F(x)≤0,即lnx≤x-1,又x0,∴g(x)≤a,∵函数f(x)在其定义域内单调,∴依题知f(x)≤0在其定义域内恒成立,∴g(x)≤0在其定义域内恒成立,∴a≤0,即实数a的取值范围为(-∞,0].

∵在(0,x1)上,h(x)0,即f(x)0,在(x1,+∞)上,h(x)0,即f(x)0,∴f(x)在(0,x1)内单调递增,在(x1,+∞)内单调递减,

2.(2024北京朝阳一模)已知函数f(x)=(1-ax)ex(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若关于x的不等式f(x)a(1-x)无整数解,求a的取值范围.

设t(x)=ex+x-2,t(x)=ex+10,所以t(x)单调递增,且t(0)=-10,t(1)=e-10,所以存在x0∈(0,1),使t(x0)=0,即h(x0)=0,当x∈(-∞,x0)时,h(x)0,h(x)单调递减,当x∈(x0,+∞)时,h(x)0,h(x)单调递增,设φ(x)=ex-x-1,则φ(x)=ex-1,当x0时,φ(x)0,φ(x)单调递增,当x0时,φ(x)0,φ(x)单调递减,所以φ(x)≥φ(0)=0,当且仅当x=0时,等号成立.