第02讲 球体的外接与内切问题（教师版）-2025版高中数学一轮复习考点帮.pdf

第讲球体的外接与内切问题

02

（类核心考点精讲精练）

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1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2023年新I卷，第12题,5分球体相关计算正棱锥及圆柱体的相关计算

球的体积的有关计算锥体体积的有关计算

2022年新I卷，第8题,5分

多面体与球体内切外接问题由导数求函数的最值(不含参)

球的表面积的有关计算

2022年新Ⅱ卷，第7题,5分无

多面体与球体内切外接问题

2021年新Ⅱ卷，第4题,5分球的表面积的有关计算无

2020年新I卷，第4题,5分球的截面的性质及计算无

2020年新I卷，第16题,5分球的截面的性质及计算无

2020年新Ⅱ卷，第4题,5分球的截面的性质及计算无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较中等或偏上，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握球体的表面积公式和体积公式

2.熟练掌握不同模型的球体的外接球和内切球的相关计算

3.会利用（二级）结论快速解题

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般有特殊几何体、墙角问题、对棱相等、侧棱垂直于底

面、侧面垂直于底面的外接内切问题，需强化复习.

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知识讲解

1.球的表面积和体积公式

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球的表面积：S＝4πR2球的体积：V＝πR3

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2.球的切接概念

空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的外接球

空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球

3.几个与球有关的切、接常用结论

(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，

3

①若球为正方体的外接球，则2R＝a；

2

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

2

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.

222

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a＋b＋c.

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

4.墙角模型（三条直线两两垂直）

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补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a＋b＋c.

5.直棱柱外接球之汉堡模型

（1）补型：补成长方体，若各个顶点在长方体的