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浅谈湍封闭理论及其研究方法

论文导读：湍流是海洋水体流动的主体。湍流的统计

理论的目标则是从最基本的物理守恒定律——N-S方程和连

续性方程出发,探讨湍流的机理。关键词：湍流，湍封闭模型，

湍黏性系数，统计理论

湍流是海洋水体流动的主体，早在十九世纪初期，水力

学家们便发现，在不同条件下，流体质点的运动情况可能表

现为两种不同的状态，一种是层流运动，一种是湍流运动。

湍应力的封闭是流体动力学的一个重要课题，也是三维

浅海流体动力学的重要问题。长期以来，浅海流体动力学模

型均引入湍黏性系数将雷诺应力参数化，而多数为经验地给

定湍黏性系数随深度的剖面。经验地给定湍黏性系数给理论

和数值计算带来了方便，但却把非线性的湍应力线性化了，

同时对流场结构和湍应力大小也造成不同程度的误差。迄今，

更复杂的确定湍黏性系数的湍封闭模型已应用于浅海流体

动力学，按引入的偏微分方程的个数，它们可分为零方程模

型（如Prandtl模型）、一方程模型（如K模型）、二方程模

型（如模型）和多方程模型。

最早关于湍流的理论是1883年英国科学家Reynolds通

过实验建立起来的圆管内层流向湍流过渡的理论。在其后的

100多年里人们已经从半经验分析方法到统计学方法提出了

各种描述湍流的理论。

湍流是一种高频随机运动，海水运动大多呈这一复杂形

式。湍流对海水的动量、热量和质量输运有重要贡献，对海

水运动速度、温盐特性及水中溶解态、颗粒态物质的分布有

显著影响。描述端流平均运动的Reynods方程是不封闭的，

需要以一定的模型将湍流的宏观效应刻划出来．

随着计算机的产生，使得详细的模拟湍流流动成为可能。

70年代，计算流体力学的发展促进了湍流模拟的发展．从二

维正压流动的数值摸拟开始，出现了许多数值模式，如ADI

法、有限元法、谱方法等，此时人们将湍流问题线性化来简

化问题。随着研究问题的深入，人们认识到湍流在诸如海面

的波浪破碎、气泡生成、兰米尔环流，海洋内部的双扩散、

跃层生衰内渡破碎等方面，起了举足轻重的作用。

1、湍流方程的提出

许多关于湍流运动的研究表明，尽管真实的湍流运动是

十分复杂的，但是湍流运动还是遵守连续介质的一般动力学

定律的，特别是遵守Navier－Stokes方程与连续方程。论文

发表。因此，可将真实流动所遵守的Navier－Stokes方程与

连续方程施行平均运算以得出湍流平均运动遵守的方程式。

为此目的，我们写出了下述不可压缩流体的微分方程式组：

对连续方程（2）施行平均运算，可得：

（3）

上式表明平均运动满足连续方程。论文发表。

分别对(1.a,b,c)施行平均运算，并利用连续方程（2），

可得：

（4.a,b,c）

以上关于平均运动的方程式（4.a,b,c）与真实流体运动

的Navier－Stokes方程式的不同之处仅仅是多出了牵涉速度

脉动的那些项。尽管与的平均值为零，但是以脉动速度的二

次项所代表的脉动的动量通量的平均值却不一定为零。这类

似与气体分子不规则热运动所产生的非零动量通量。例如，

项

（5）

用应力形式表示脉动速度二次项，则由于流动中存在脉

动而产生的附加湍应力可以完整地写作：

，

不难看出，附加湍流应力与粘性应力一样，形成了二阶

对称张量。根据上述附加地湍流应力我们可以把平均运动地

方程式（4.a，b，c）写作：

（6.a,b,c）

式中表示取平均的横杠被删掉了。于是我们得到结论，

湍流平均运动方程可以写成与实际运动方程相同的形式，只

要在粘性（牛顿）应力之外，再考虑附加的湍流应力。

方程式（4.a,b,c）或（6.a,b,c）通常被称为Reynolds方

程。出现在方程式中的这些附加的湍流应力通常被称为

Reynolds应力。Reynolds方程对比与Navier－Stokes方程式

多了Reynolds应力项，因此方程式是非封闭的。如何仅仅根

据平均速度来确定出现在方程式中的Reynolds应力以便使方

程式闭合是我们面临的最大困难。海洋湍流模型就是在流体

力学端流封闭的基础上发展起来。在Boussinesq似粘性假设

下，雷诺方程可由零方程模型(Prandtl混合长理论)、一方程

模型(k-方程封闭)、二方程模型(k—e或k