2024高中数学 112弧度制学案 新人教A版必修4.doc

2024高中数学112弧度制学案新人教A版必修4

【学习要求】

1理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换

2体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应

关系

3掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式

【学法指导】

1通过类比长度重量的不同度量制，体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制

2弄清1弧度的角的含义是了解弧度制，并能进行弧度与角度换算的关键

3引入弧度制后，应与角度制进行对比，明确角度制和弧度制下弧长公式和扇形面积公式的联系与区别

弧度的角：把长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号表示，读作

2弧度制：用作为单位来度量角的单位制叫做弧度制

3角的弧度数的规定：

一般地，正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个

，零角的弧度数是

如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是这里，α的正负由角α的终边的

旋转方向决定

4角度与弧度的互化：

(1)角度转化为弧度：

360°＝rad；180°＝rad；1°＝rad≈001745rad

(2)弧度转化为角度：

2πrad＝；πrad＝；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈5730°＝57°18′

探究点一弧度制

问题11弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？

答把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角1弧度的角是一个定值，与所在圆的半径无关如图所示，

∠AOB就是1弧度的角

问题2如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数与lr之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律

的长

OB旋转的方向

∠AOB的弧度数

∠AOB的度数

0

——

eq\f(π,2)r

顺时针方向

πr

逆时针方向

2πr

顺时针方向

eq\f(πr,180)

逆时针方向

r

逆时针方向

2r

顺时针方向

规律：如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，

那么_______________________，即_________

问题3除了角度制，数学还常用弧度制表示角请叙述一下弧度制的内容

答一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq\f(l,r)这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定

问题4角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整

角度化弧度

弧度化角度

360°＝rad

2πrad＝

180°＝rad

πrad＝

1°＝eq\f(π,180)rad

1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°

探究点二弧度制下的弧长公式和扇形面积公式

问题1我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式(设半径为r，圆心角弧度数为α)

答半径为r，圆心角为n°的扇形弧长公式为l＝eq\f(nπr,180)，扇形面积公式为S扇＝eq\f(nπr2,360)

∵eq\f(l,2πr)＝eq\f(|α|,2π)，∴l＝|α|r

∵eq\f(S扇,S圆)＝eq\f(S扇,πr2)＝eq\f(|α|,2π)，∴S扇＝eq\f(1,2)|α|r2

∵eq\f(S扇,S圆)＝eq\f(S扇,πr2)＝eq\f(|α|,2π)，∴S扇＝eq\f(1,2)|α|r2

问题2角度制与弧度制下扇形的弧长及面积公式对比：

设扇形的半径为R，弧长为l，α(0α2π)为其圆心角，则

度量单位

类别

α为角度制

α为弧度制

扇形的弧长

l＝____

l＝

扇形的面积

S＝______

S＝______＝_____

探究点三利用弧度制表示终边相同的角

在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2kπ＋α(k∈Z)，其中α的单位必须是弧度

问题1利用弧度制表示终边落在坐标轴上的角的集合

终边所在的位置

角的集合

x轴

y轴

坐标轴

问题2利用弧度制表示终边落在各个象限的角的集合

α终边所在的象限

角α的集合

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

【典型例题】

例1(1)把2°30′化成弧度；(2)把eq\f(7π,12)化成角度

解先将2°30′化为25°，然后乘以eq\f(π,180)rad，即可将2°30