工程数学第6讲.逆矩阵.pptVIP

2.5逆矩阵;矩阵运算中定义了加法和负矩阵,就可以定义矩阵的减法.那么定义了矩阵的乘法,是否可以定义矩阵的除法呢?由于矩阵乘法不满足交换律,因此我们不能一般地定义矩阵的除法.在数的运算中,当数a?0时,aa-1=a-1a=1,这里a-1=1/a称为a的倒数,(或称a的逆);在矩阵乘法运算中,单位矩阵I相当于数的乘法中的1,那么对于一个矩阵A,是否存在一个矩阵A-1,使得AA-1=A-1A=I呢?如果存在这样的矩阵A-1,就称A是可逆矩阵,并称A-1是A的逆矩阵.;定义1对于矩阵A,如果存在一个矩阵B,使得

AB=BA=I, (2.22)

就称A为可逆矩阵,(简称A可逆),并称B是A的逆矩阵,记作A-1,即A-1=B.

由定义可知,可逆矩阵及其逆矩阵是同阶方阵.由于(2.22)式中,A与B的地位是平等的,所以也可称A是B的逆矩阵.;定理1假设A是可逆矩阵,那么A的逆矩阵是唯一的.

证设B和C都是A的逆矩阵,那么由

AB=BA=I,

AC=CA=I,

可得

B=IB=(CA)B=C(AB)=CI=C,

故A的逆矩阵是唯一的.;下面讨论矩阵A可逆的充分必要条件.

如果A可逆,其逆为B,那么|A||B|=|AB|=|I|=1,必有|A|?0,因此,|A|?0是A可逆的必要条件.

下面要证明|A|?0也是A可逆的充分条件.为此要引入伴随矩阵(adjointmatrix)的概念.;定义2设A是一个n阶矩阵,;称cofA的转置矩阵是A的伴随矩阵,记作adjA或A*;同理可证,A*A=|A|I,于是

AA*=A*A=|A|I, (2.23)

当|A|?0时,可得;定理2矩阵A可逆的充分必要条件是:|A|?0,且;推论假设A,B都是n阶矩阵,且AB=I,那么BA=I,即A,B皆可逆,且A,B互为逆矩阵.

证由AB=I,得|A||B|=1,|A|?0,B?0,A,B皆可逆,于是,

BA=IBA=A-1ABA=A-1IA=A-1A=I

因此,判断B是否为A的逆,只需验证AB=I或BA=I的一个等式成立即可.;例1以下矩阵A,B是否可逆?假设可逆,求其逆矩阵;解;如b1b2b3?0,B可逆,且;例2设;例3设方阵满足方程A2-3A-10I=O,证明A,A+4I都可逆,并求它们的逆矩阵.;例4非齐次线性方程组AX=b的系数矩阵A如例1所给,b=[5,1,1]T,问方程组是否有解?如有解,求其解.

解由于A是可逆矩阵,且逆矩阵是唯一的,因此等式AX=b两端都左乘A-1,即

A-1(AX)=A-1b,即X=A-1b

便得此方程组的唯一解:;可逆矩阵A有以下性质:;例5证明:假设A是可逆的反对称矩阵,那么A-1也是反对称矩阵.

证因为AT=-A,那么

(A-1)T=(AT)-1=(-A)-1=-A-1,

所以A-1也是反对称矩阵.

同理,可逆对称矩阵的逆矩阵仍是对称矩阵.;2.4矩阵的初等变换和初等矩阵;用高斯消元法解线性方程组,其消元步骤是对增广矩阵做三类行变换:

(i)以非零常数c乘矩阵的某一行;

(ii)将矩阵的某一行乘以常数c并加到另一行;

(iii)将矩阵的某两行对换位置.

这三类行变换统称为矩阵的初等行变换,(i)称为倍乘变换,(ii)称为倍加变换,(iii)称为对换变换.

在矩阵的其他一些问题里(如展开方阵的行列式),也要对矩阵作上述三类初等列变换,初等行,列变换统称为初等变换.;定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换:

(1)对调两行(对调第i行和第j行,记作).

(2)用非零数k乘以某一行的全部元素(第i行乘k,记作).

〔3〕把某一行的k倍加到另一行的对应的元素上(第j行的k倍加到第i行上,记作).

同样可定义矩阵的初等列变换.

初等行变换和初等列变换统称为初等变换.;定义如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B,就称矩阵A与B等价,记作A～B.

矩阵的等价关系满足以下三个性质:

(1)自反性A～A;

(2)对称性假设A～B,那么B～A;

(3)传递性假设A～B,B～C;那么A～C.

两个等价矩阵所对应的两个方程组有相同的解.;初等变换在矩阵的理论中具有十分重要的作用.矩阵的初等变换不只是可用语言