（浙江版）高考数学复习： 专题4.3 简单的三角恒等变换（讲）.docVIP

PAGE

第03节三角恒等变换

【考纲解读】

考点

考纲内容

5年统计

分析预测

简单的三角恒等变换

①掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公

式.

②掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.

2013浙江文6；理6；

2014浙江文4,18；理4，18；

2015浙江文11,16；理11；

2016浙江文11；理10，16；

2017浙江14，18.

1.和（差）角公式；

2.二倍角公式；

3.和差倍半的三角函数公式的综合应用.

4.备考重点：

(1)掌握和差倍半的三角函数公式；

(2)掌握三角函数恒等变换的常用技巧.

【知识清单】

1.两角和与差的三角函数公式的应用

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；

C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；

S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；

S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ；

T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)；

T(α－β)：tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ).

变形公式：

tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)；

.

函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)或f(α)＝eq\r(a2＋b2)cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．

对点练习：

【2018广西南宁二中、柳州高中9月联考】若，且为第三象限角，则等于()

A.7B.C.1D.0

【答案】A

本题选择A选项.

2.二倍角公式的运用公式的应用

二倍角的正弦、余弦、正切公式：

S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；

C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

T2α：tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).

变形公式：

cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)

1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2

对点练习：

【2017浙江，18】已知函数f（x）=sin2x–cos2x–sinxcosx（xR）．

（Ⅰ）求的值．

（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间．

【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为，单调递增区间为．

【解析】

（Ⅱ）由与得

所以的最小正周期是

由正弦函数的性质得

解得

所以的单调递增区间是．

【考点深度剖析】

对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查，在三角恒等变换过程中，准确记忆公式、适当变换式子、有效选取公式是解决问题的关键．

【重点难点突破】

考点1两角和与差的三角函数公式的应用

【1-1】【2018江西省赣州厚德外国语学校上学期第一次测试】的值是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】故选D.

【1-2】【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆O：x2+y2=1，点A1213,513，B-35,45，记射线OA与x

【答案】-

【解析】设射线OB与x轴正半轴的夹角为β，有已知有cosα=1213,sinα=513,cosβ=-

【1-3】已知：，，且，则=_______.

【答案】

【解析】，

,

【领悟技法】

1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．

2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．

提醒：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即保证tanα，tanβ，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可利用诱导公式化简．

【触类旁通】

【变式一】已知均为锐角，且，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

∴??．

【变式二】已知函数的部分图像如图所示.

（Ⅰ）求函数)的解析式，并写出的单调减区间；

（Ⅱ）的内角分别是A,B