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章末归纳复习

知识网络建构

答案

=1\*GB3①，

=2\*GB3②，

=3\*GB3③，

=4\*GB3④

=5\*GB3⑤，

=6\*GB3⑥积化和差公式：，

，，

=7\*GB3⑦

=8\*GB3⑧

=9\*GB3⑨

=10\*GB3⑩

eq\o\ac(○,11)

eq\o\ac(○,12)

知识要点整合

一、三角函数求值

三角函数求值主要有三种类型，即：

（1）“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，有可能需要运用诱导公式.

（2）“给值求值”，即给出某些角的三角函数的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角在这个过程中要注意角的范围.

（3）“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.

例1已知，则的近似值为（）

A.1.77

B.1.78

C.1.79

D.1.81

解析，

.

答案B

例2，，且和分别为第二、第三象限角求的值.

解析先根据，的范围求得其正弦、余弦值，再求正切值，最后结合求解.

答案，且为第二象限角，

.

又，且为第三象限角，

，

.

例3已知，，且，，则的值为_______.

解析，,，.

，，

.

又，.

答案

二、三角函数式的化简与证明

1.三角函数式的化简是三角恒等变换应用的一个重要方面，其基本思想方法是统一角、统一三角函数的名称.在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一.通过观察角、函数名、项的次数等找到突破口，利用切弦互化、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简.

2.三角函数式的化简要遵循的“三看”原则：

一看角，通过角之间的差异与联系，把角进行合理的拆分、凑配；

二看函数名称，看函数名称之间的差异，利用公式将函数名称进行转化，常见的有“切弦互化”；

三看结构特征，分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式要升幂”等.

3.三角函数式的证明实质上也是化简，是有方向、有目标的化简；根本原则：由繁到简，消除两端差异，达到证明的目的.具体来说，三角函数式的证明一般是根据式子中角的关系、函数名称、结构特点确定转化方向.由已知关系式证未知等式时要充分利用已知条件.常用的角的凑配技巧有，，等.

例4化简求值：

（1）；

（2）.

解析（1）利用二倍角公式、同角三角函数基本关系式及诱导公式化简求值；（2）利用同角三角函数基本关系式、诱导公式及三角函数的和差化积公式等化简求值.

答案（1）

.

（2）

.

例5求证：.

解析由繁到简，故从左边到右边证明.先把左边通分，对分子进行因式分解，再利用叠加公式化归到与右边相同.

答案左边

右边.

原等式成立.

三、三角恒等变换的综合应用

1.解三角恒等变换问题的基本思路是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的.变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式.变换函数名称可以运用诱导公式、同角三角函数基本关系式、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、积化和差与和差化积公式、二倍角公式等.

2.与三角恒等变换有关的综合问题一般有以下两种类型：

（1）以三角恒等变换为主要的化简手段，考查三角函数的性质.当给出的三角函数关系式较为复杂时，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为或等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.

（2）以向量运算为载体，考查三角恒等变换.这类问题往往利用向量的知识和公式，通过向量的运算，将向量条件转化为三角条件，然后通过三角变换解决问题；有时还在三角与向量的关联点处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题进行考查.

例6已知函数，其周期为，求

（1）的解析式；

（2）函数的值域.

解析（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式再利用正弦函数的周期性求得，可得函数的解式；（2）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再据余弦函数的定义域和值域，求得的值域.

答案（1）

，因为函数的周期为，所以，故.

（2）

，

所以且，

故的值域为.

例7已知向量，.

（1）当时，求的值；

（2）求函数的单调区间.

解析（1）由及代入坐