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《直线和圆的位置关系（第三课时）》教案

教学目标

教学目标：1.理解切线的性质定理；

会运用切线的性质定理进行计算与证明.

教学重点：用切线的性质定理进行计算与证明.

教学难点：用反证法证明切线的性质定理.

教学过程

时间

教学

环节

主要师生活动

2min

活动一：

复习回顾

1.圆的切线是如何定义的?

如果直线和圆只有一个公共点，那么这条直线叫圆的切线.

2.判断一条直线是圆的切线有哪些方法?

切线的判定方法有三种：

（1）当直线和圆只有唯一公共点的时候，这条直线是圆的切线；

（2）当圆心到直线的的距离等于半径的时候，这条直线是圆的切线；

（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

文

图

式

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

∵OA为⊙O半径，直线l⊥OA于A，

∴直线l与⊙O相切于A.

（直线l是⊙O的切线.）

3.今天我们一起探讨圆的切线有什么性质？

9min

活动二：

探索性质

根据切线的定义我们可以得到切线的如下性质：(如图)

（1）切线l和⊙O有且只有一个公共点A(这个公共点A就是切点)；

（2）圆心O到切线l的距离等于圆的半径.

切线的判定定理，实际上可以看成：

=1\*GB3①OA为⊙O的半径（点A在⊙O上），=2\*GB3②直线l⊥OA于A.=3\*GB3③直线l是⊙O的切线.

（交换判定定理的条件和结论，如果已知直线l是⊙O的切线，下面又可分为“切点已知”和“切点未知”这两种情况分别研究，我们先看“切点已知”的情况）

问1：如图，已知直线l是⊙O的切线，切点为A，连接OA,直线l⊥OA吗？

从现有知识看，不具备直接证明垂直的条件，我们可以考虑用反证法.

已知：直线l是⊙O的切线，切点为A，连接OA.

求证：l⊥OA.

证明：假设OA与直线l不垂直，

则过点O作OM⊥l，垂足为M，

根据垂线段最短，得OM＜OA，

即圆心O到直线l的距离OM＜半径OA.

∴直线l与⊙O相交，

这与直线l是⊙O的切线矛盾.

∴假设不成立，即l⊥OA.

这样，我们就得到了切线的性质定理：

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.

结合图形分析切线性质定理的条件和结论：

文

图

式

圆的切线垂直于过切点的半径.

∵直线l与⊙O相切于A，

（直线l是⊙O的切线,点A是切点，）

∴直线l⊥OA.

可以看成：=1\*GB3①OA为⊙O的半径，=3\*GB3③直线l是⊙O的切线,点A是切点.

=2\*GB3②直线l⊥OA于A.

（我们再来看“切点未知”的情况）

问2：如图，已知⊙O的切线l，但切点未知，你能作出切点A吗？

我们过O作直线l的垂线，设垂足是T，也就是OT⊥l于T.假设切点是A,由切线的性质定理,过切点A的半径OA⊥l于A，由于“平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，所以垂足T就是切点A.也就是说，过圆心作切线的垂线，垂足就是切点.

由此得到结论1：经过圆心且垂直于切线的直线一定经过切点.

文

图

式

经过圆心且垂直于切线的直线一定经过切点.

∵直线l与⊙O相切（直线l是⊙O的切线），l⊥OA于A，

∴点A为切点.

实际上可以看成：=3\*GB3③直线l是⊙O的切线，=2\*GB3②直线l⊥OA于A.=1\*GB3①OA为⊙O的半径.

问3：请同学们课后研究：结论2:经过切点垂直于切线的直线一定经过圆心.

9min

活动三：

性质的应用

例1.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.

求证：AC是⊙O的切线.

分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径就可以了，而由切线的性质，OD是⊙O的半径，因此只需证明

OD=OE.

证明：如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA.

∵⊙O与AB相切于点D，

∴OD⊥AB.

又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，

∴AO是∠BAC的平分线.

又∵OE⊥AC，OD⊥AB，

∴OE=OD，即OE是⊙O的半径.

∵OE为⊙O的半径，OE⊥AC于E，

∴AC与⊙O相切.

例2.如图，AB为⊙O的直径，AC是弦，D是eq\o\ac(\s\up6(⌒),AC)的中点，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E.

（1）求证：AC∥ED；

（2）若OA=AE=4，求弦AC的长.

分析：

这里有三个条件：（1）AB为⊙O的直径；