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初二数学第5周资料

一．填空题（共1小题）

1．在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝35°，点P在△ABC的边上，当△ABP是等腰三角形时，其顶角度数为．

二．解答题（共5小题）

2．等腰三角形的周长为11，一条边为3，则三角形的底边长是．

3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，点D和点E分别在边AC和AB上，且AE＝DE．

（1）求∠BED的度数．

（2）过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，则△AEF是等腰三角形吗？请说明理由．

4．古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？

大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．

如图2，作B关于直线l的对称点B，连结AB与直线/交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答：

（1）证明：如图3，在直线l上另取任一点C，连结AC，BC，BC，

∵直线l是点B，B的对称轴，点C，C在l上，

∴CB＝，CB＝，

∴AC+CB＝AC+CB＝．

在△ACB中，

∵AB＜AC+CB，

∴AC+CB＜AC+CB．

∴AC+CB＜AC+CB，即AC+CB最小．

本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（在连接A，B两点的线中，线段AB最短）．本问题可归纳为求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值的问题的数学模型．

（2）问题解决

如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流OA饮马，再到草地OB吃草，最后回到P处，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得走过的路程，即△PEF的周长最小．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）

5．古希腊一位将军要从A地出发到河边（如图所示中的直线l）去饮马，然后回到驻地B．

（1）怎样选择饮马地点，才能使路程最短？请在图中确定出使路程最短的点P（画图工具不限，保留画图痕迹，不写画法）；

（2）如果A地到河边的距离AM为500m，B地到河边的距离BN为300m，M，N的距离为600m，写出（1）中最短的路程．

6．某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：

直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．

请利用上述模型解决下列问题；

（1）如图2，△ABC中，∠C＝90°，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，作出点P，使得PA+PE的值最小；

（2）如图3，∠AOB＝30°，M、N分别为OA、OB上一动点，若OP＝5，求△PMN的周长的最小值．

初二数学第5周资料

参考答案与试题解析

（相信少侠很快做完了，这次的题量不大所以要定时完成哦。看到这里那可以稍微放松下，不光错题的解析要重点观看，正确的题目也是要留心的哦，老师的方法会给你更多的启迪，加油！当你有耐心全部看完，那你已经超越99.99%的同龄人啦！这次的周资料有题目是压轴题，所以不会做也是正常的啦，不要灰心去问下你的老师吧！）

一．填空题（共1小题）

1．在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝35°，点P在△ABC的边上，当△ABP是等腰三角形时，其顶角度数为90°或55°或70°．

【答案】90°或55°或70°．

【思路点拨】作出图形，然后分点P在AC上与BC上讨论求解即可．

【解答】解：△ABC中，∠A＝90°，∠C＝35°，

∴∠ABC＝180°﹣90°﹣35°＝55°，

如图，点P在AC上时，AP＝AB，顶角∠A＝90°，

如图，点P在BC上时，若BA＝BP，顶角∠ABC＝55°，

如图，点P在BC上时，若AB＝AP，

∴∠ABC＝∠APB＝55°，

∴顶角∠BAP＝180°﹣55°﹣55°＝70°，

如图，点P在BC上时，若BP＝AP，

∴∠ABC＝∠BAP＝55°，

∴顶角∠BPA＝180°﹣55°﹣55°＝70°，

综上所述，顶角为90°或55°或70°．

故答案为：90°或55°或70°．

【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观．等腰三角形的性质；三角形内角和定理．

二．解答题（共7小题）

2．等腰三角形的周长为11，一条边为3，则三角形的底边长是5或3．

【答案】5或3．

【思路点拨】由于已知的长为8的边，没有说明是底还是