2025年湖南省中考数学一轮复习第四单元　第十八讲　全等三角形.docxVIP

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第十八讲全等三角形

知识要点

对点练习

1.全等三角形的性质与判定

(1)性质:

①全等三角形的对应边相等,对应角相等;?

②全等三角形的周长相等,面积相等;?

③全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等.?

(2)判定:

①SSS:三边对应相等的两个三角形全等;?

②SAS:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等;?

③ASA:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;?

④AAS:两角分别相等,且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等;?

⑤HL:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.?

1.(1)(教材再开发·湘教八上P79例3改编)如图,△ABC≌△DEF,点E,C,F,B在同一条直线上.下列结论正确的是(D)

A.∠B=∠D B.∠ACB=∠DEF

C.AC=EF D.BF=CE

(2)下列几组条件不能判定△ABC≌△DEF的是②③④.?

①∠A=∠D,∠C=∠F,AC=DF;

②AB=DE,BC=EF,∠A=∠D;

③∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F;

④AB=DE,△ABC的周长等于△DEF的周长.

2.角的平分线的性质与判定

(1)性质:角平分线上的点到角两边的距离相等.?

(2)判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.?

2.(教材再开发·湘教八下P26T2改编)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DE=4,BC=9,则BD的长为5.?

考点1确定三角形全等的条件

【例1】(2024·盐城中考)已知:如图,点A,B,C,D在同一条直线上,AE∥BF,AE=BF.若,则AB=CD.?

请从①CE∥DF;②CE=DF;③∠E=∠F这3个选项中选择一个作为条件(写序号),使结论成立,并说明理由.

【自主解答】选择①CE∥DF;

∵AE∥BF,CE∥DF,

∴∠A=∠FBD,∠D=∠ECA,

∵AE=BF,

∴△AEC≌△BFD(AAS),

∴AC=BD,

∴AC-BC=BD-BC,即AB=CD;

选择②CE=DF;

无法证明△AEC≌△BFD,

无法得出AB=CD;

选择③∠E=∠F;

∵AE∥BF,

∴∠A=∠FBD,

∵AE=BF,∠E=∠F,

∴△AEC≌△BFD(ASA),

∴AC=BD,

∴AC-BC=BD-BC,即AB=CD.

【方法技巧】

确定三角形全等条件的三种思路

已知

两边

找另一边用“SSS”

找直角用“HL”

找夹角用“SAS”

已知一边

一角

边为角的对边

找任一角用“AAS”

边为角的邻边

找夹边的另一角用“ASA”

找夹角的另一边用“SAS”

找边的对角用“AAS”

已知两角

找夹边用“ASA”

找任一已知角的对边用“AAS”

提醒:证明两个三角形全等,至少要有一条边对应相等.

【变式训练】

1.(2024·牡丹江中考)如图,△ABC中,D是AB上一点,CF∥AB,D,E,F三点共线,请添加一个条件DE=EF(答案不唯一),使得AE=CE.(只添一种情况即可)?

2.(2024·乐山中考)已知:如图,AB平分∠CAD,AC=AD.求证:∠C=∠D.

【证明】∵AB平分∠CAD,

∴∠CAB=∠DAB,

在△CAB和△DAB中,

AC=

∴△CAB≌△DAB(SAS),

∴∠C=∠D.

考点2全等三角形的判定与性质

【例2】(教材原题·湘教版八年级上册·P79例3)

已知:如图,点A,F,E,C在同一条直线上,AB∥DC,AB=CD,∠B=∠D.求证:△ABE≌△CDF.

【思路点拨】由AB∥DC可以得出∠A=∠C.再证明△ABE≌△CDF.

【自主解答】∵AB∥DC,∴∠A=∠C.

在△ABE和△CDF中,∠

∴△ABE≌△CDF(ASA).

【方法技巧】

应用全等三角形的性质与判定进行证明的技巧

(1)抓住关键寻找对应边角:

公共边一定是对应边,公共角(或对顶角)一定是对应角;相等的边所对的角为对应角,相等的角所对的边为对应边.

(2)分析法寻找证明思路:

由结论逆推,探寻结论成立所需要的条件,进而打通证明思路.

(3)作辅助线联通已知和未知:

紧扣题目中的关键条件添加辅助线,联通已知和未知.如针对中点倍长中线,针对角平分线作垂线段或截长补短等.

【变式训练】

1.(2024·北京中考)下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.

(1)如图,以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;

(2)作射线OA,以点O为圆心,OC长为半径画弧,交OA于点C;以点C为圆心,CD长为半径画弧,两弧交于点D;

(3)过点D作射线OB,则∠AOB