20242024学年高中数学 241 平面向量数量积的物理背景及其含义学案新人教A版必修4.doc

§241平面向量的数量积的物理背景及含义

【学习目标】

1在物理中功的概念的基础上，理解向量数量积的概念及几何意义；

2掌握数量积的运算式及变式；掌握并能熟练运用数量积的运算律；掌握模长公式

【学习过程】

一自主学习

（一）知识链接：如右图，如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功，其中是与的夹角

（二）自主探究：（预习教材P103—P105）

探究：平面向量数量积的含义

问题1：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？

1平面向量数量积的定义：已知两个______向量，我们把______________叫的数量积。（或________）记作_________即＝___________________其中是的夹角。__________叫做向量方向上的______。我们规定：零向量与任意向量的数量积为____。

问题2：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？什么时候为负？

2平面向量数量积的性质：设均为非空向量：

①___________

②当同向时，＝________当反向时，＝________，

特别地，__________或___________。

③____________④___________

⑤的几何意义：____________________________________。

问题3：运算律和运算紧密相连，引进向量数量积后，自然要看一看它满足怎么样的运算律，同学们能推导向量数量积的下列运算律吗？

3向量的数量积满足下列运算律：已知向量与实数。

①＝___________；②＝___________；③＝___________。

问题4：我们知道，对任意，恒有，

对任意向量，是否也有下面类似的结论？

⑴；⑵

二合作探究

1已知，，且与的夹角，求

变式1：若，，且，则是多少？

变式2：若，，且，则是多少？

变式3：若，，且与的夹角，求。

变式4：若，，且，求与的夹角。

2在平行四边形中，，，，求

变式：判断下列命题的真假，并说明理由

⑴在中，若，则是锐角三角形；

⑵在中，若，则是钝角三角形；

⑶为直角三角形，则

三交流展示

1已知，，与的夹角为，求：

⑴；

⑵；

⑶；

⑷

2已知，且与不共线，为何值时，向量与互相垂直？

四达标检测（A组必做，B组选做）

A组：1设，，，则与的夹角为

ABCD

2已知，，，当时，为

A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等腰三角形

3已知平面内三个点，则向量与的夹角为

ABCD

4已知，，且，则向量在向量的方向上的投影为

5已知向量满足，则

6已知，与的夹角为，求：⑴；⑵；⑶

B组：

1已知与的夹角为，且，则为

ABCD

2已知，且与垂直，则与的夹角为

ABCD

3，且与的夹角为，则=

4已知，则=，=

5设是两个单位向量，其夹角为，求向量与的夹角