20242024高中数学 313空间向量的数量积导学案新人教A版选修21.doc

313空间向量的数量积

【使用说明及学法指导】

1先自学课本，理解概念，完成导学提纲；

2小组合作，动手实践。

【学习目标】

掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题

掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；

掌握空间向量的坐标运算的规律；

【重点】利用两个向量的数量积解决立体几何中的问题

【难点】空间向量的坐标运算的规律

一自主学习

1预习教材P90~P92,解决下列问题

复习1：什么是平面向量与的数量积？

复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC中，求

导学提纲

1)两个向量的夹角的定义：已知两非零向量，在空间，作，则叫做向量与的夹角，记作

⑴范围:

=0时,;=π时,

⑵成立吗？

⑶，则称与互相垂直，记作

2)向量的数量积：

已知向量，则叫做的数量积，记作，即

⑴两个向量的数量积是数量还是向量？

⑵（选0还是）

⑶你能说出的几何意义吗？

3)空间向量数量积的性质：

（1）设单位向量，则

（2）

（3）＝

（4）=____________

4)空间向量数量积满足哪些运算律：_____________________________

⑴吗？举例说明

⑵若，则吗？为什么?

⑶若，则吗？为什么？

5)对空间的任意向量，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要___个向量？这几个向量有何位置关系？

空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量，使如果两两，这种分解叫空间向量的___________

空间向量基本定理：如果三个向量，对空间任一向量，存在有序实数组，使得把的一个基底都叫做__________空间任意一个向量的基底有个一个基底可以表示_____个空间向量？

如果空间一个基底的三个基向量互相，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用_________表示

⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系Oxyz和向量a，且设ijk为x轴y轴z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a的坐标，记着

⑸设A，B，则＝

⑹向量的直角坐标运算：

设a＝，b＝，则

⑴a＋b＝_________________；

⑵ab＝_________________；

⑶λa＝__________________;；

⑷a·b＝_____________________

试用向量方法证明直线与平面垂直的判断定理

二典型例题

例下列命题中：

①若，则，中至少一个为

②若且，则

③

④

正确有个数为（）

A0个B1个C2个D3个

2已知和是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与垂直的是（）

ABCD

3若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（）

AB

CD

4设ijk为空间直角坐标系Oxyz中x轴y轴z轴正方向的单位向量，且，则点B的坐标是

5已知中，所对的边为，且,,则=

6在三棱锥OABC中，G是的重心（三条中线的交点），选取为基底，试用基底表示＝

7已知，，且和不共线，当与的夹角是锐角时，的取值范围是

8正方体的棱长为2，以A为坐标原点，以为x轴y轴z轴正方向建立空间直角坐标系，E为BB1中点，则E的坐标是

9已知向量满足，，，则____

10已知关于x的方程有两个实根，，且，

当t＝时，的模取得最大值

例2如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值

变式：如图，在正三棱柱ABCABC中，若

AB=BB,则AB与CB所成的角为（）

A60°B90°C105°D75°

例3如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求BD间的距离

例4在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，*6]·eq\o(OC,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q是CA′上的点，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：