2024届高三数学 导数的简单应用期末复习测试卷 文.doc

导数的简单应用

(40分钟)

一选择题

1(2024·成都模拟)已知函数f(x)满足f(2x1)=f(x)+x2x+2,则函数f(x)在(1,f(1))处的切线是()

A2x+3y+10=0 B2x3y+10=0

C2xy+2=0 D2xy2=0

2(2024·重庆模拟)函数f(x)=ax2+bx(a0,b0)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,则的最小值是()

A10 B9 C8 D3

3方程x36x2+9x10=0的实根个数是()

A3 B2 C1 D0

4(2024·福建高考)设函数f(x)的定义域为R,x0是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()

A?x∈R,f(x)≤f(x0)

Bx0是f(x)的极小值点

Cx0是f(x)的极小值点

Dx0是f(x)的极小值点

5设在函数y=xsinx+cosx的图象上的点(x0,y0)处的切线斜率为k,若k=g(x0),则函数k=g(x0),x0∈[π,π]的图象大致为()

二填空题

6(2024·江西高考)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则

f′(1)=

7若函数f(x)=x2lnx+1在其定义域内的一个子区间(k1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是

8(2024·阳泉模拟)已知函数f(x)=给出如下四个命题:

①f(x)在[,+∞)上是减函数;

②f(x)的最大值是2;

③函数y=f(x)有两个零点;

④f(x)≤在R上恒成立

其中正确的命题有(把正确的命题序号都填上)

三解答题

9已知函数f(x)=x33ax(a∈R)

(1)当a=1时,求f(x)的极小值

(2)若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线,求a的取值范围

10(2024·宿州模拟)已知函数f(x)=,m∈R

(1)若m=1,判断函数在定义域内的单调性

(2)若函数在(1,e)内存在极值,求实数m的取值范围

(2024·广东高考)设函数f(x)=x3kx2+x(k∈R)

(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间

(2)当k0时,求函数f(x)在[k,k]上的最小值m和最大值M

答案解析

1【解析】选B令x=1,则f(1)=f(1)+121+2,

所以f(1)=4,两边取导数2f′(2x1)=f′(x)+2x1

令x=1得2f′(1)=f′(1)+21,

所以f′(1)=,

所以函数f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y4=(x1),即2x3y+10=0

2【解析】选B因为f′(x)=2ax+b,

所以f′(1)=2a+b=2,

因为a0,b0,

所以=1,

=+=·+

=+4+1+

=++5≥2·+5=9

当且仅当=,即b=4a,a=,b=时取等号

3【解题提示】求实根个数可转化为求函数图象与x轴的交点个数,求导后,求出极大值和极小值,判断极值的符号来求解

【解析】选C设f(x)=x36x2+9x10,

f′(x)=3x212x+9=3(x1)(x3),

由此可知函数的极大值为f(1)=60,极小值为f(3)=100,

所以方程x36x2+9x10=0的实根个数为1

4【解析】选D因为函数f(x)与f(x)的图象关于原点对称,(x0,f(x0))是极高点,那么(x0,f(x0))就是极低点

5【解析】选Ay′=sinx+xcosxsinx=xcosx,

即切线斜率k=g(x0)=x0cosx0,则函数g(x0)=x0cosx0为奇函数,图象关于原点对称,排除B,C当x0=π时,g(π)=πcosπ0,排除D

6【解析】设t=ex,则x=lnt,故f(t)=lnt+t,

f′(t)=+1,所以f′(1)=1+1=2

答案:2

7【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),

f′(x)=2x==,

由f′(x)0得x,由f′(x)0得0x,

要使函数在定义域内的一个子区间(k1,k+1)内不是单调函数,

则有0≤k1k+1,解得1≤k,

即k的取值范围是

答案:

8【解析】对于①,当x≥时,f(x)=x3+2x,

f′(x)=x2+2=(x+)(x)0,

所以,f(x)在[,+∞)上是减函数,因此①正确;

对于②,因为当x0时,f(x)=ex+x1为单调递增函数,因此,f(x)f(0)=e0+01=0;

当x≥0时,f(x)在[0,)上为增函数,在[,+∞)上为减函数,

所以f(x)max=f()=+2=,因此②错误;

对于③,因为f(0)=0,所以x=0是f(x)的一个零点,又因f()·f(3)=×(3)0,所以在(,3)上f(x)有一个零点,因此③正确;由②知④正确

答案:①③④

9【解析】(1)当a=1时,f′(x)=3x23,

令f′(x)=0,得