高等数学（工科类）课件 第八章 行列式、矩阵与线性方程组.pptx

;知识目标;第八章行列式、矩阵与线性方程组;情景与问题;引例2对二元一次方程组进行加减消元得到

约定符号，则当时原方程组的解为;引例3我们学习过两个向量的向量积

是约定符号

以上三个引例中约定的符号分别称为二阶行列式和三阶行列式.一般地,

二阶行列式记为

三阶行列式记为

;在车站开始检票时，有名旅客在候车室排队等候进站,检票开始后,仍有旅客来排队进站，设旅客按固定的速度增加，检票的速度也是固定的,若开一个检票口，则需30分钟才可以将排队等候检票的旅客全部检票完毕;若开放两个检票口,则需10分钟便可将排队等候的旅客全部检票完毕;如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检,则至少要同时开放几个检票口?

分析本题涉及的是检票问题，采用“设辅助元”列方程解决，但这类方程中的未知数多于方程个数，需要讨论才能得出结果，难度较大.若采用本节学习的行列式及相关性质求解就会大大降低难度.

在本节，我们将把二、三阶行列式的概念推广到阶行列式，由浅入深方便掌握，并给出阶行列式的性质和计算方法，以便应用于实际问题的解决.

在本节，我们将把二、三阶行列式的概念推广到阶行列式，由浅入深方便掌握，并给出阶行列式的性质和计算方法，以便应用于实际问题的解决.;定义(8.1)个数排列成行列,算式

称为阶行列式.其中称为行列式的第行第列的元素().

在行列式中，划掉第行和第列后，剩下的元素按照原来的位置保持不变构成的阶行列式称为元素的余子式，记为,而将称为元素的代数余子式.

当时,规定行列式的值

设阶行列式的值已定义,则规定阶行列式的值

其中为行列式中元素的代数余子式,

;注意:一个阶行列式表示一个数值，这个值是其第1行所有元素与其对应的代数余子式乘积之和.我们常将行列式的这个定义简称为阶行列式按第1行展开.当然，也可将该行列式按其他行展开.

显然，时，式(8.1)为

这正是引例2中对二阶行列式的约定；

时，式(8.1)为

=;可以看出，三阶行列式展开后，一共有项；每一项是来自行列式的不同行不同列的3个元素之积；每一项的3个元素的行指标若按1，2，3的顺序排列，则其列指标刚好是1，2，3的一个排列，这种排列无重复无遗漏；

每一项带一个符号，带正号有项，带负号也有项.我们很容易将这些结论推广到阶行列式.

引例3中计算两个向量的向量积，就是三阶行列式按第一行展开.;例1计算三阶行列式（1）（2）．;

例2计算四阶行列式.;

例3计算下三角行列式;8.1.2行列式的性质;定理(8.2)互换行列式的任意两行(列)的位置，行列式的值反号．;定理8.5如果行列式中某一行（列）的元素都是两项之和，则此行列式等于两个行列式之和，这两个行列式分别以这两项为所在行（列）对应位置的元素，其它行(列)的元素与原行列式相同．

定理8.6将行列式的某一行（列）的元素都乘以常数加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变．

定理8.7(克拉默(Cramer)法则)对于个方程个未知量的线性方程组

记系数行列式为,而中的第列换成常数列，其它列不变所构成的行列式记为(