2024年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（北京卷，含解析）.doc

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（北京卷，含解析）

本试卷共5，150分考试时长120分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第一部分（选择题共40分）

一选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的

复数

A B C D

【答案】A

【解析】

试题分析：

考点：复数运算

2若，满足则的最大值为

A0 B1 C D2

【答案】D

【解析】

试题分析：如图，先画出可行域，由于，则，令，作直线，在可行域中作平行线，得最优解，此时直线的截距最大，取得最小值2

考点：线性规划；

3执行如图所示的程序框图，输出的结果为

A B C D

【答案】B

考点：程序框图

4设，是两个不同的平面，是直线且“”是“”的

A充分而不必要条件 B必要而不充分条件

C充分必要条件 D既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

试题分析：因为，是两个不同的平面，是直线且若“”，则平面可能相交也可能平行，不能推出，反过来若，，则有，则“”是“”的必要而不充分条件

考点：1空间直线与平面的位置关系；2充要条件

5某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是

ABCD5

【答案】C

【解析】

试题分析：根据三视图恢复成三棱锥，其中平面ABC，取AB棱的中点D，连接CDPD，有，底面ABC为等腰三角形底边AB上的高CD为2，AD=BD=1,PC=1,,,，,三棱锥表面积

考点：1三视图；2三棱锥的表面积

6设是等差数列下列结论中正确的是

A若，则B若，则

C若，则D若，则

【答案】C

考点：1等差数列通项公式；2作差比较法

7如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是

AB

CD

【答案】C

【解析】

考点：1函数图象；2解不等式

8汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲乙丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是

A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D某城市机动车最高限速80千米/小时相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

【答案】

【解析】

试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km，消耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80千米/小时由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选D

考点：1函数应用问题；2对“燃油效率”新定义的理解；3对图象的理解

第Ⅱ卷（非选择题共0分）

二填空题（共6个小题，每题5分，共30分）

9在的展开式中，的系数为 （用数字作答）

【答案】40

【解析】

试题分析：利用通项公式，，令，得出的系数为

考点：二项式定理

10已知双曲线的一条渐近线为，则

【答案】

考点：双曲线的几何性质

在极坐标系中，点到直线的距离为

【答案】1

【解析】

试题分析：先把点极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线距离公式

考点：1极坐标与直角坐标的互化；2点到直线距离

12在中，，，，则

【答案】1

【解析】

试题分析：

考点：正弦定理余弦定理

13在中，点，满足，若，则 ；

【答案】

【解析】

试题分析：特殊化，不妨设，利用坐标法，以A为原点，AB为轴，为轴，建立直角坐标系，，，则，

考点：平面向量

14设函数

①若，则的最小值为 ；

②若恰有2个零点，则实数的取值范围是

【答案】(1)1，(2)或

考点：1函数的图象；2函数的零点；3分类讨论思想

三解答题（共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

15（本小题13分）

已知函数

(Ⅰ)求的最小正周期；

(Ⅱ)求在区间上的最小值

【答案】（1），（2）

【解析】

试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为形式，再利用周期公式求出周期，第二步由于则可求出，借助正弦函数图象找出在这个范围内当，即时，取得最小值为：

试题解析：(Ⅰ)

(1)的最小正周