专项18-正方形的性质与判定-重难点题型.docx

正方形的性质与判定-重难点题型

【知识点1正方形的定义】

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

【知识点2正方形的性质】

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．

【题型1正方形的性质（求角的度数）】

【例1】（海珠区校级期中）如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边△ADE，则∠ABE的度数是．

【变式1-1】（黄浦区期末）如图，E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，BE交AD于点F，∠ADE＝75°，则∠AFB＝°．

【变式1-2】（海淀区校级月考）如图，在正方形ABCD内，以AB为边作等边△ABE，则∠BEG＝°．

【变式1-3】（大兴区期中）在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．连接AE，若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数．

【题型2正方形的性质（求线段的长度）】

【例2】（崇川区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为1，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，则BE的长为．

【变式2-1】（余杭区月考）边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，连结EC、FD，点G，H分别是EC、DF的中点，连结GH，则GH的长为．

【变式2-2】（南开区期中）如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝5，CE＝2，T为AF的中点，求CT的长．

【变式2-3】（綦江区校级月考）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．

（1）求证：EF＝AE+CF；

（2）当AE＝1时，求EF的长．

【题型3正方形的性质（求面积、周长）】

【例3】（仪征市期末）正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，线段BF、AE相交于点O，若图中阴影部分的面积为14，则△ABO的周长为．

【变式3-1】（仓山区期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点H．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为3：4，则△BCH的周长为（）

A．25?4 B．25 C．25+4 D．2

【变式3-2】（海淀区校级期中）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（）

A．14 B．16 C．18 D．12

【变式3-3】（河西区期中）将5个边长为2cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，A3，A4是正方形的中心，则这个正方形重叠部分的面积和为（）

A．2cm2 B．1cm2 C．4cm2 D．6cm2

【题型4正方形的性质（探究数量关系）】

【例4】（和平区期末）如图，若在正方形ABCD中，点E为CD边上一点，点F为AD延长线上一点，且DE＝DF，则AE与CF之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．

【变式4-1】（西山区期末）如图（1），正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连接DE，过点A作AM⊥DE，垂足为M，AM与BD相交于点F．

（1）直接写出OE与OF的数量关系：；

（2）如图（2）若点E在AC的延长线上，AM⊥DE于点M，AM交BD的延长线于点F，其他条件不变．试探究OE与OF的数量关系，并说明理由．

【变式4-2】（安阳县期末）四边形ABCD是正方形，G是直线BC上任意一点，BE⊥AG于点E，DF⊥AG于点F，当点G在BC边上时（如图1），易证DF﹣BE＝EF．

（1）当点G在BC延长线上时，在图2中补全图形，写出DF、BE、EF的数量关系，并证明．

（2）当点G在CB延长线上时，在图3中补全图形，写出DF、BE、EF的数量关系，不用证明．

【变式4-3】（天河区校级期中）如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．

（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；

（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．

【题型5正方形的性质综合应用】

【例5】（周村区期末）（1）如图1的正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，A