2024年高中数学《函数的单调性的应用》导学案 北师大版必修1.doc

第7课时函数的单调性的应用

1理解函数单调性的实质,会用函数单调性解决相关问题

2理解复合函数的单调性,并会证明和判断

3熟悉单调性在研究函数中的应用

函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的必考内容之一因此应理解单调函数及其几何意义,会根据定义判断证明函数的单调性,会求函数的单调区间,能综合运用单调性解决一些问题函数的单调性与函数的值域不等式等知识极为密切,是高考命题的热点

问题1:判断或证明一个函数在区间D上是增(减)函数的方法有:

(1);?

(2)图像法(即通过画出函数图像,观察图像,确定单调区间);

(3)定义法,其过程是:作差——变形——判断符号,其中难点是变形

问题2:复合函数的单调性的判断:复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:

函数

单调性

u=g(x)

增

增

减

减

y=f(u)

增

减

增

减

y=f[g(x)]

?

?

?

?

即有结论:“同增异减”

问题3:单调函数经运算后,所得函数单调性的规律:

①若f(x),g(x)均为增(减)函数,则f(x)+g(x)在公共定义域上为函数;?

②若f(x)为增(减)函数,则f(x)为函数;?

③若f(x)0,且f(x)为增函数,则f(x)为函数,1f

问题4:(一)函数最大值的定义:

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:

(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2)那么,称M是函数y=f(x)的最大值函数最大值的几何意义:函数图像上的纵坐标?

(二)函数最小值的定义:

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:

(1);(2)?

那么,称M是函数y=f(x)的最小值函数最小值的几何意义:函数图像上的纵坐标?

1若函数y=mx+b在(∞,+∞)上是增函数,那么()

Ab0 Bb0 Cm0 Dm

2已知函数f(x)=8+2xx2,则()

Af(x)在(∞,0)上是减函数

Bf(x)是减函数

Cf(x)是增函数

Df(x)在(∞,0)上是增函数

3函数y=2x-1在区间[2,6]上的最大值是

4已知定义域在R上的函数y=f(x)满足f(x)=f(x),在(0,+∞)上是增函数,且f(x)0,则F(x)=1f(x

复合函数的单调性

求函数y=(x22x3)3的单调区间

利用单调性求最值

已知函数y=f(x)(x∈R)为减函数,对任意mn∈R总有f(m)+f(n)=f(m+n),且当x0时,f(x)0,f(1)=23求f(x

抽象函数的单调性

已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:①当x1时,f(x)0;②对任意正实数xy,都有f(xy)=f(x)+f(y),

求证:f(x)在(0,+∞)上是递减函数

求函数y=x2

求函数y=x2

定义在(1,1)上的函数f(x)满足f(x)=f(x),且f(1a)+f(1a2)0,若f(x)是(1,1)上的减函数,求实数a的取值范围

1已知一次函数y=kxk,若y随x的增大而减小,则它的图像过()

A第一二三象限 B第一三四象限

C第一二四象限 D第二三四象限

2若函数f(x)=x2+2(a1)x+2在区间[4,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是()

Aa≤3 Ba≤3 Ca≥3 Da≤5

3已知f(x)=ax23ax+a21(a0),则f(3),f(3),f(32)从小到大的顺序是

4已知函数f(x)满足f(x)=f(x),且在(2,2)上单调递增若f(2+a)+f(12a)0,求a

1(2024年?天津卷)设函数f(x)=x1x,对任意x∈[1,+∞),f(mx)+mf(x)0恒成立,则实数m的取值范围是

2(2024年·四川卷)函数的定义域为A,若x1,x2∈A且f(x1)=f(x2)时总有x1=x2,则称f(x)为单函数例如,函数f(x)=2x+1(x∈R)是单函数下列命题:

①函数f(x)=x2(x∈R)是单函数;

②指数函数f(x)=2x(x∈R)是单函数;

③若f(x)为单函数,x1,x2∈A且x1≠x2,则f(x1)≠f(x2);

④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数

其中的真命题是(写出所有真命题的编号)?

考题变式(我来改编):

?

?

答案

第7课时函数的单调性的应用

知识体系梳理

问题1:(1)观察法

问题2:增减减增

问题3:①增(减)②减(增)③增减

问题4:(一)(1)存在x0∈I,使得f(x0)=M最高点

(二)(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M存在x0∈