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二项式定理

知识重点和难点

二项式定理

二项式定理

通项公式

二项展开式特征

(1)项数：共有n+1项

(2)系数：两种说法区分开

(3)次数：a降幂排列，次数由n到0；b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n。

二项式系数性质

(1)对称性：与首末两端等距的两项，二项式系数相同，

(2)单调性：二项式系数先单增，后单减。当n为偶数时，中间项的二项式系数最大，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大

(3)所有二项式系数之和为2n，

(4)奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和

二项式定理的应用

(1)求特定项或特定项系数

(2)近似计算

(3)证明整除问题或求余数

(4)结合放缩法证明不等式

(5)证明有关组合恒等式(构造，赋值)

(6)赋值法进行有关系数和的运算

典型例题分析

二项式定理是组合数学中的一个重要定理，可以广泛地和高中数学的各个部分建立联系。复习时应注意将典型问题分类，分析它们的解决方法之间的联系和区别，力求更准确全面地掌握它们。

一：系数

1：在的展开式中x的系数为

2：在（1-x3）（1+x）10的展开式中，x5的系数是

3：(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数；

4：(x3－)5的展开式中x5的系数

5：(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5的展开式中x2的系数

7：已知(1＋x)n的展开式中，x3的系数是x的系数的7倍，求n的值

8：已知(ax＋1)7（a≠0）的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，求a的值

9：在(1+x)7的展开式中,x3项的系数是x2项系数与x5项系数的等比中项,则的值为

10：在()n的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于1024，则中间项的二项式系数是

二：赋值

1：1＋2＝

2：

3：若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值等于；

4：

5：若，则

6：已知，

求（1）的值

（2）及的值；

（3）各项二项式系数和。

7：若(1+x-2x2)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10

(1)求a0

(2)求a0+a1+a2+a3+…+a10

(3)求a0-a1+a2-a3+…+a10

三：证明

1．求除以7的余数

2；若，则可被64整除。

3：证明：对任意非负整数，可被676整除。

3：证明：（1），其中；

四：和数列结合

1：的展开式中，的系数为______________。

2：若(1-2x)9展开式的第3项为288，则()的值是

3：设常数，展开式中的系数为，则__________。

五：其他

1：设展开式的第7项与倒数第7项的比为1：6，求展开式的第7项__________

2:若的展开式中的系数是80，则实数a的值是

3：在的二项展开式中，若常数项为，则等于

4：()的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是

5：如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是

6：若，且，则.

7．设,则

8：二项式的展开式中系数为有理数的项共有项

9．已知是正整数，的展开式中的系数为7，

试求中的的系数的最小值

对于使的的系数为最小的，求出此时的系数

利用上述结果，求的近似值（精确到0.01）