（浙江版）高考数学复习： 专题4.4 三角函数的图象与性质（讲）.docVIP

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第04节三角函数的图象与性质

【考纲解读】

考点

考纲内容

5年统计

分析预测

三角函数的图象和性质

理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，了解三角函数的周期性.

2013浙江文3；

2015浙江文11，理11；

2016浙江文3，理5；

2017浙江18.

1.“五点法”作图；

2,.三角函数的性质.

3.备考重点：

(1)掌握正弦、余弦、正切函数的图象；

(2)掌握三角函数的周期性、单调性、对称性以及最值.

【知识清单】

1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质

（1）正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质

性质

图象

定义域

值域

最值

当时，；当时，．

当时，；当时，．

既无最大值，也无最小值

周期性

奇偶性

,奇函数

偶函数

奇函数

单调性

在上是增函数；在上是减函数．

在上是增函数；在上是减函数．

在上是增函数．

对称性

对称中心

对称轴，既是中心对称又是轴对称图形。

对称中心

对称轴，既是中心对称又是轴对称图形。

对称中心

无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形。

（2）（五点法），先列表，令，求出对应的五个的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图像.

对点练习：

【2017课标3，理6】设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是

A．f(x)的一个周期为?2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称

C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减

【答案】D

【解析】

2．三角函数的定义域与值域

（1）定义域：,的定义域为,的定义域为.

（2）值域：,的值域为,的值域为.

（3）最值：：当时，；当时，．

：当时，；当时，．

：既无最大值，也无最小值

对点练习：

函数的定义域是（）

A.B.

C.D.

【答案】D

故选D.

3.三角函数的单调性

（1）三角函数的单调区间：

的递增区间是，

递减区间是；

的递增区间是，

递减区间是，

的递增区间是，

（2）复合函数的单调性

设，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数增减性相反，复合函数为减函数，如下表

增

增

增

增

减

减

减

增

减

减

减

增

对点练习：

【2017浙江温州中学10月模拟】已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则是减函数的区间为（）

A.B.

C.D.

【答案】A

4.三角函数的对称性

（1）对称轴与对称中心：

的对称轴为，对称中心为；

的对称轴为，对称中心为；

对称中心为.

（2）对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.

的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为．

（3）相邻两对称轴间的距离为eq\f(T,2)，相邻两对称中心间的距离也为eq\f(T,2),函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．

对点练习：

【2017浙江温州中学3月模拟】函数f(x)=2cos2x+

【答案】π,x=5

x∈[0,π]，所以x=π12或x=11

5.三角函数的奇偶性

（1）函数的奇偶性的定义；对定义域内任意，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数

（2）奇偶函数的性质：

（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；

（3）为偶函数．

（4）若奇函数的定义域包含，则．

（5）为奇函数，为偶函数，为奇函数.

对点练习：

【2018届江西省六校高三上学期第五次联考】函数是偶函数的充要条件是（）

A.B.

C.D.

【答案】C

本题选择C选项.

6.三角函数的周期性

（1）周期函数的定义

一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期．

（2）最小正周期：对于一个周期函数，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期．

（3）,周期为,周期为.

对点练习：

【2017天津，文理】设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则

（A）， （B）， （C）， （D），

【答案】

【考点深度剖析】

近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数（特别是）图象与性质的考查力度有所加强，往往将恒等变换与图象和性质结合考查.其中三角函数的定义域值