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抛物线及其性质

1．抛物线定义：平面内到一定點F和一条定直线的距离相等的點的轨迹称為抛物线．

2．抛物线四种原则方程的几何性质：

图形

参数p几何意义

参数p表达焦點到准线的距离，p越大，開口越阔.

開口方向

右

左

上

下

標准方程

焦點位置

X正

X负

Y正

Y负

焦點坐標

准线方程

范围

對称轴

X轴

X轴

Y轴

Y轴

顶點坐標

（0,0）

离心率

通径

2p

焦半径

焦點弦長

焦點弦長的补充

认為直径的圆必与准线相切

若的倾斜角為，

若的倾斜角為，则

3．抛物线的几何性质：

(1)范围：由于p0，由方程可知x≥0，因此抛物线在轴的右侧，當的值增大時，||也增大，阐明抛物线向右上方和右下方無限延伸．

(2)對称性：對称轴要看一次项，符号决定開口方向．

(3)顶點（0，0），离心率：，焦點，准线，焦准距p．

(4)焦點弦：抛物线的焦點弦，,,则．

弦長|AB|=x1+x2+p,當x1=x2時，通径最短為2p。

4．焦點弦的有关性质：焦點弦，,，焦點

(1)若AB是抛物线的焦點弦（過焦點的弦），且，，则：，。

(2)若AB是抛物线的焦點弦，且直线AB的倾斜角為α，则（α≠0）。

(3)已知直线AB是過抛物线焦點F,

(4)焦點弦中通径最短長為2p。通径：過焦點垂直于焦點所在的轴的焦點弦叫做通径．

(5)两個相切：eq\o\ac(○,1)以抛物线焦點弦為直径的圆与准线相切.eq\o\ac(○,2)過抛物线焦點弦的两端點向准线作垂线，以两垂足為直径端點的圆与焦點弦相切。

5．弦長公式：,是抛物线上两點，则

6.直线与抛物线的位置关系

直线，抛物线，

，消y得：

（1）當k=0時，直线与抛物线的對称轴平行，有一种交點；

（2）當k≠0時，

Δ＞0，直线与抛物线相交，两個不一样交點；

Δ=0，直线与抛物线相切，一种切點；

Δ＜0，直线与抛物线相离，無公共點。

若直线与抛物线只有一种公共點,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）

7.有关直线与抛物线的位置关系問題常用处理措施

直线：抛物线，

联立方程法：

设交點坐標為,，则有,以及，還可深入求出，

在波及弦長，中點，對称，面积等問題時，常用此法，例如

相交弦AB的弦長

或

b.中點,，

點差法：

设交點坐標為，，代入抛物线方程，得

将两式相減，可得

在波及斜率問題時，

在波及中點轨迹問題時，设线段的中點為，，

即，

同理，對于抛物线，若直线与抛物线相交于两點，點是弦的中點，则有

（注意能用這個公式的条件：1）直线与抛物线有两個不一样的交點，2）直线的斜率存在，且不等于零）

【經典例題】

（1）抛物线——二次曲线的友好线

椭圆与双曲线均有两种定义措施，可抛物线只有一种：到一种定點和一条定直线的距离相等的所有點的集合.其离心率e=1，這使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于這個美好的1，既使它享尽友好之美，又生出多少华丽的篇章.

【例1】P為抛物线上任一點，F為焦點，则以PF為直径的圆与y轴（）

相交相切相离位置由P确定

【解析】如图，抛物线的焦點為，准线是

.作PH⊥于H，交y轴于Q，那么，

且.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的

中位线，.故以

PF為直径的圆与y轴相切，选B.

【评注】相似的問題對于椭圆和双曲线来說，其結论则

分别是相离或相交的.

（2）焦點弦——常考常新的亮點弦

有关抛物线的试題，許多都与它的焦點弦有关.理解并掌握這個焦點弦的性质，對破解這些试題是大有协助的.

【例2】過抛物线的焦點F作直线交抛物线于两點，求证：

（1）（2）

【证明】（1）如图设抛物线的准线為，作

，

.两式相加即得：

（2）當AB⊥x轴時，有

成立；

當AB与x轴不垂直時，设焦點弦AB的方程為：.代入抛物线方程：

.化简得：

∵方程（1）之二根為x1，x2，∴.

.

故不管弦AB与x轴与否垂直，恒有成立.

（3）切线——抛物线与函数有缘

有关抛物线的許多试題，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解題者不可或缺的基本功.

【例3】证明：過抛物线上一點M（x0，y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0）

【证明】對方程两边取导数：

.由點斜式方程：

y0y=p（x+x0）

（4）定點与定值——抛物线埋在深处的宝藏

抛物线中存在許多不不易发現，却轻易為人疏忽的定點和定值.掌握它們，在解題中常會故意想不到的收获.

例如：1.一動圆的圆心在抛物线上，且動圆恒与直线相切，则此動