高等数学（第五版）课件 4.1.2函数的极值.pptx

函数的极值

函数的极值的定义函数的极大值和极小值统称为极值。极大值点和极小值点统称为极值点。设函数在的某领域内有定义，若当在的领域内但不等于时，恒有（1）则称是函数的一个极大值；（2）则称是函数的一个极小值；?定义：

注意1.函数在一个区间上可能有几个极大值和几个极小值，其中有的极大值可能比极小值还小！2.函数极值的概念是局部性的，它们与函数的最大值、最小值（以后函数在其定义域上的最大值与最小值统称为最值）不同。极值是相对于一个局部而言的，而最大值与最小值是就函数的定义域而言的。函数的极值的定义

极值的必要条件y=x3但由右图可知，不是它的极值点。定理（极值的必要条件）设函数在点处可导，且在点处有极值，则必有。?

思考：极值点与驻点的关系?例如：求导得：当时，不存在。极值的必要条件但是，由的图像可以看出，是该函数的极大值，是极大值点。

极值的充分条件定理（极值的第一充分条件）设函数在点的某去心领域内可导，在点处，有或不存在。则：(1)如果当时，，当时，，则是的极大值点，是的极大值；

?(2)如果当时，，当时，，则是的极小值点，是的极小值；极值的充分条件

求极值的步骤求连续函数极值的步骤：1.确定函数的定义域；4.用驻点和不可导点把的定义域划分成若干个区间，考察每个区间内的符号，按照定理判断各驻点及不可导点是否为极大值点、极小值点，并由极值点求出函数的极值。（最好通过列表判断）2.求导数；3.求出函数的驻点及不可导点；

习题讲解列表判断令，解得驻点为无导数不存在点。例1求函数的极值。的定义域为，解：则，时，取得极大值10，时，取得极小值-22。00极大值10极小值-22

列表判断令，得驻点，当时，不存在，习题讲解例2求函数的极值。则，时，取得极大值0，时，取得极小值.0不存在极大值0极小值-1/2解：的定义域为，

定理（极值的第二充分条件）设函数在点处二阶可导，且，极值的充分条件注意若，则用此定理无法判定是否为函数的极值点，这时需用第一充分条件定理判定。（1）若，那么是极大值点；（2）若，那么是极小值点。

函数的定义域为，解：习题讲解求函数的极值。例3令，得驻点函数无不可导点，而，由定理知，是函数的极小值点，且极小值，但当和时，由于,此时不能用第二判定定理这两点是否能取得极值，要由第一判定定理来判定。

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