线性代数 第六版 第四章 特征值问题和矩阵的对角化.pptx

1矩阵的特征值第四章

2本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及矩阵对角化的问题。

3第一节矩阵的特征值与特征向量(一)矩阵的特征值定义说明：1、特征值问题是针对方阵而言的；2、特征向量必须是非零向量；3、特征向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值λ。

4特征值与特征向量的计算方法：即要求齐次线性方程组有非零解，即方程的根就是矩阵A的特征值，相应非零解即为特征向量。记称为矩阵A的特征多项式，

5称为矩阵A的特征多项式，为矩阵A的特征方程。特征方程的根，即为矩阵A的特征值。记

6计算矩阵特征值和特征向量的一般步骤如下：

7例1设求A的特征值与特征向量。解所以A的特征值为相应齐次线性方程组的基础解系为

8相应齐次线性方程组的基础解系为

9练习设求A的特征值与特征向量。解所以A的特征值为相应齐次线性方程组的基础解系为

10相应齐次线性方程组的基础解系为

11例2解

12相应齐次线性方程组的基础解系为

13相应齐次线性方程组的基础解系为

14例3解

15相应齐次线性方程组的基础解系为

16相应齐次线性方程组的基础解系为

17练习设求A的特征值与特征向量。解所以A的特征值为

18相应齐次线性方程组的基础解系为

19相应齐次线性方程组的基础解系为

20相应齐次线性方程组的基础解系为

21练习解所以A的特征值为设求A的特征值与特征向量。

22相应齐次线性方程组的基础解系为

23相应齐次线性方程组的基础解系为

24对角阵、上三角阵、下三角阵，它们的特征值即为主对角元。

25(二)特征值与特征向量的基本性质性质1证(2)可推广到多个特征向量。

26性质2证(1)

27(2)重复这个过程,可得性质2证

28(3)设A可逆,矛盾；性质2证

29性质3证从而有相同的特征值。注意：

30属于各个特征值的线性无关的向量合在一起仍线性无关。性质4属于不同特征值的特征向量线性无关。只证两个特征向量的情况。证(1)(2)推广

31例4多项式证略例如,矩阵A的有一个特征值为2,则有一个特征值7.例5证幂等矩阵

32练习：例4多项式证略例如,矩阵A的有一个特征值为2,则有一个特征值7.例5幂等矩阵

33例6解由性质2,注：因为方阵A可逆，所以其所有特征值不等于零。

34矩阵的特征多项式的性质：中出现,故有而常数项等于所以

35比较系数得性质5推论方阵A可逆的充分必要条件是A的特征值全不为零。trace

36例7解

37练习解

38矩阵的迹的性质证略。

39第二节相似矩阵与矩阵对角化(一)相似矩阵及其性质定义对于n阶方阵A和B，若存在n阶可逆方阵P，使得则称A与B相似,记为例如

40矩阵的“相似”关系具有以下特性：(1)反身性：(2)对称性：证(3)传递性：证

41相似矩阵的性质：定理相似矩阵有相同的特征多项式,从而特征值相同。证推论1相似矩阵的行列式相等；推论2相似矩阵的迹相等；推论3若矩阵A与一个对角阵相似,(对角阵的特征值即为主对角元)。

42注意：特征值相同的矩阵不一定相似。但它们不相似，因为与E相似的矩阵只有它自己，因为对任意可逆阵P，

43相似矩阵的其他性质：相似矩阵的秩相等；若P,Q为可逆矩阵,则有

44A,B同为可逆或不可逆,可逆时它们的逆矩阵及伴随矩阵也分别相似。只证(3)，其余证明留作练习。(1)(2)(3)(4)(5)(6)

45例1解

46(二)矩阵与对角矩阵相似的条件n阶矩阵A与一个对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。定理如果一个矩阵能与一个对角阵相似,称该矩阵可以(相似)对角化。证必要性：设A与一个对角阵相似,即存在一个可逆阵P,使

47必要性得证。上述步骤倒过来写,即得充分性证明。

48推论1如果矩阵A的特征值互不相同，则A必可对角化。因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的。注意：这个条件是充分的而不是必要的。如果A的特征方程有重根，此时不一定有n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化；但如果能找到n个线性无关的特征向量，A还是能对角化。

49解例2

50特征向量特征向量

51特征向量特征向量特征向量

52

53例3解特征向量可对角化,

54特征向量

55例4解只有一个线性无关的特征向量,所以不能对角化。

56一般来说，求矩阵的高次幂比较困难，但若矩阵A能对角化，即存在可逆阵P，使得则于是转化为对角阵求幂，而对角阵求幂是容易的。

57例1解

58相应齐次线性方程组的基础解系为

59相应齐次线性方程组的基础解系为

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62练习解设

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64第三节实对称矩阵的特征值和特征向量(一)向量内积定义给定Rn中向量实数