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《圆周角（第二课时）》教案

教学目标

教学目标：掌握圆内接四边形的有关概念及性质，圆内接多边形的概念，能应用圆周角的性质及圆内接四边形的性质,进行计算、证明和探究；渗透“由特殊到一般”的数学思想方法.

教学重点：圆内接四边形的概念及性质.

教学难点：圆内接四边形性质与圆周角性质的综合应用.

教学过程

时间

教学环节

主要师生活动

1min

复习回顾

一、定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角.

二、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

及其推论：

1.同弧或等弧所对的圆周角相等.

2.半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

3min

引入新知

直径所对的圆周角都相等（都是直角）.直径是特殊的弦，那么对于一般情况的弦，它所对的圆周角是否也相等呢？有没有和第一条推论类似的结论呢？即同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？

我们来研究“同弦”的情形（“等弦”与“同弦”类似）：弦AC所对的圆周角都相等吗？

我们任意画出弦AC所对的几个圆周角：∠B，∠D，∠E，∠F.

问题1:请同学们观察这四个角，思考这些圆周角的大小关系.

这四个圆周角按位置可以分两类，角的顶点在弦的上方，或者在弦的下方.其中两对角的关系：∠B=∠F，∠D=∠E.

问题2:能否用学过的知识加以证明呢？

通过观察我们可以发现，∠B和∠F的顶点在弦的上方，它们都对着同一条弧：劣弧ADC，由圆周角定理的第一条推论可知，同弧所对的圆周角相等，所以∠B=∠F.

∠D和∠E的顶点在弦的下方，都对着同一条优弧ABC.所以同理可得：∠D=∠E.

问题3:∠B与∠D的关系呢？也相等吗？

不一定相等.只有当弦AC是直径时，由圆周角定理的第二条推论：直径所对的圆周角都是直角，∠B与∠D相等.当弦AC不是直径时，∠B与∠D不相等.

我们来研究此时∠B和∠D的数量关系.

问题就变成了研究这个四边形的一组对角之间的关系.在研究这个问题之前，我们先来观察四边形ABCD有什么特点？

它的四个顶点都在圆上，四个内角都是圆周角，四条边都是圆的弦.我们把这样的四边形叫做圆内接四边形.什么样的四边形呢？

引出圆内接四边形的定义：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆.

概念辨析：如下图所示，四边形ACBO是不是圆内接四边形？

5min

探究性质

圆内接四边形ABCD的对角有什么关系？

请同学们自己画一个圆，再画出它的任意一个内接四边形，测量一组对角的度数，并猜想：圆内接四边形ABCD的对角有什么关系.

可能有同学已经有了猜想：圆内接四边形ABCD的对角互补.

证明：连接OA，OC.

性质：

圆内接四边形的对角互补.

延伸：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.

再回到最开始的问题，同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗?正确答案是：相等或互补.

圆的内接四边形也可以扩展到圆的内接多边形：

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.

7min

巩固练习

例1如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB=，则∠ACB=_______.

变式：

当∠AOB为时，∠ACB=_______.

当∠AOB为时，∠ACB=_______.

小结：不同于圆内接四边形，四边形ACBO的三个顶点在圆上，一个顶点为圆心，若

练习如图，点A，B是⊙O上两点，C为⊙O上任一点，若∠AOB=，则∠ACB=__________.

下面请同学们试一试这道提高题吧.

例2如图,在圆内接四边形ABCD中,

(1)求证：

(2)求四边形ABCD的面积.

解答如下：

（1）证明

证法一：连接BD.

证法二：

eq\o(\s\up8(︵),\s\do1(AB))=eq\o(\s\up8(︵),\s\do1(AD))，

四边形ABCD是圆内接四边形，

（2）解：

∵四边形ABCD内接于⊙O.

又

5min

拓展提升

（一）平行四边形

请同学们画一个圆内接平行四边形，观察一下你画出的平行四边形有什么特点？

1.画一个圆；

2.画一条弦AD；

3.画AD的平行线段BC，使BC=AD，点B在圆上；

4.平行移动线段BC，使点C落在圆上.

此时，四边形ABCD即为圆内接平行四边形.

接下来我们看一下演示视频.

观察图形，圆内接平行四边形是矩形.

这是我们的猜想，还需要进行证明.

证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴圆内接平行四边形是矩形.

（二）菱形

研究思路与圆内接平行四边