培优专题1 函数对称性与周期性问题【18类题型归纳】（解析版）-【重难点突破】2024-2025学年高一上·人教A版必修第一册·专题突破.docxVIP

【重难点突破】2024-2025学年高一上·人教A版必修第一册·专题突破

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培优专题1函数对称性与周期性问题

高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练.

近4年考情

考题示例

考点分析

关联考点

2023年新高考2卷，第6题

对称性与函数交点个数问题

函数对称性的识别

2022年新高考1卷，第12题

函数对称性与周期性

导函与原函数数对称性问题的转换，由平移关系得出对称性

2022年全国乙卷，第12题

函数对称性与周期性

函数轴对称与中心对称的抽象表示式，由对称性得出周期

2021年新高考2卷，第8题

函数对称性与周期性

由平移关系得出对称性，再由对称性得出周期

2021年甲卷（理），第12题

函数对称性与周期性

由平移关系得出对称性，由对称性得出周期

2021年甲卷（文），第12题

函数对称性与周期性

函数轴对称与中心对称的抽象表示式，由对称性得出周期

总览

总览

题型解读

TOC\o1-3\h\z\u【题型1】对称轴，对称中心的抽象表达式的识别 2

【题型2】由平移前后关系得出原函数对称性 3

【题型3】由对称性求解析式 4

【题型4】由中心对称求出函数中间值：f(x)=奇函数+M 7

【题型5】由对称性求参数 12

【题型6】由对称性求交点坐标的和 13

【题型7】由对称性解函数不等式 20

【题型8】由解析式看出对称性 22

【题型9】由解析式看出对称中心再解函数不等式 31

【题型10】由解析式看出对称轴再解函数不等式 34

【题型11】与对称性有关的材料题 37

【题型12】通过表达式直接得出周期（迭代） 40

【题型13】利用周期性求解析式 44

【题型14】由对称性进而得出周期 46

【题型15】由条件不等式构造新函数解不等式 61

【题型16】类周期函数与倍增函数 69

【题型17】已知一个对称轴（中心）和周期 74

【题型18】两个函数混合型 83

题型汇编

题型汇编

知识梳理与常考题型

【题型1】对称轴，对称中心的抽象表达式的识别

若，且?关于对称

若，且?关于对称

对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：

（1）可利用对称性求得某些点的函数值

（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像

（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称

（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同

设是定义域为R的奇函数，且.若，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由题意可得：，

而，

故.

【巩固练习1】（多选题）已知函数的定义域为，为奇函数，且对于任意，都有，则（?? ??）

A． B．

C．为偶函数 D．为奇函数

【答案】BCD

【解析】由，得．

由是奇函数，得，即，

所以，即，所以，故选项A错误；

由，得，由，得，所以，故选项B正确；

由，，得，即为偶函数，故选项C正确；

由，，得，则，

即为奇函数，故选项D正确．

【巩固练习2】已知函数的图象关于点对称，则（????）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得.

【详解】由对称中心性质可知函数满足，

即，

整理可得，即，

解得.

【题型2】由平移前后关系得出原函数对称性

若已知是奇（偶）函数求对称性

是偶函数?关于对称，是奇函数?关于对称

举个例子：

若是奇函数

证：设关于对称，通过函数图像的平移和伸缩变换求出a，b的值

对称中心

2024·江苏高邮·统考

定义在上的函数和的图象关于轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用奇函数的性质结合函数的对称性求解即可.

【详解】由题意得函数是奇函数，则关于对称，

另知函数和的图象关于轴对称，故关于对称

【巩固练习】已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】函数的定义域为R，由是偶函数，得，即，

由为奇函数，得，即，显然，

因此，即，有，

，，而的值都不确定，ABC错误，D正确

【题型3】由对称性求解析式

一、把的图像关于对称，对称后的函数为，则

证明：设对称后的点为，则点在上，故，即

二、把的图像关于对称，对称后的函数为，则

证明：设对称后的点为，