培优专题2 抽象函数的模型汇总【15类题型】（解析版）- 【重难点突破】2024-2025学年高一上·人教A版必修第一册·重难点专题突破.docxVIP

【重难点突破】2024-2025学年高一上·人教A版必修第一册·专题突破

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培优专题2抽象函数的模型归纳

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???在解决抽象函数问题时，我们一定要熟悉最常见的一些基本初等函数的性质特征，再根据题目所给条件特征的吻合性，对照猜想符合条件的函数模型，应用所猜模型的性质去估计或验证所求结果.

???这种典型的目标前置于具体函数的导入，虽然不符合数学命题的初衷，有投机取巧的嫌疑，但确实会极大地简化和优化我们的解题过程，成为解决此类问题的一大利器,从应试的角度来说，这种解法是值得参考的.

熟悉模型，并不是死记硬背，直接借用函数模型来解题，而是通过函数模型，理解模型中所涉及的性质与运算法则，提供解题思维突破口。?.

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题型解读

TOC\o1-3\n\h\z\u【题型1】抽象函数的赋值求值

【题型2】正比例函数模型(内加外加型)：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)

【题型3】一次函数模型（有常数）:f(x＋y)＝f(x)＋f(y)+a

【题型4】指数函数模型(内加外乘型):f(x＋y)＝f(x)f(y)

【题型5】对数函数模型(内乘外加型)：f(xy)＝f(x)＋f(y)

【题型6】幂函数模型(内乘外乘型):f(xy)＝f(x)f(y)

【题型7】二次函数的抽象表达式：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2axy－c

【题型8】抽象函数奇偶性与对称性问题（看不出函数模型）

【题型9】抽象函数单调性与不等式问题（看不出函数模型）

【题型10】正弦或双曲正弦函数的抽象表达式

【题型11】余弦或双曲余弦函数的抽象表达式

【题型12】正切型函数的抽象表达式

【题型13】三次函数模型

【题型14】正余弦函数辅助角型

【题型15】其它函数的抽象表达式

题型

题型汇编

知识梳理与常考题型

【题型1】抽象函数的赋值求值

赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，一般有以下几种：

1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解

【例1】已知函数满足，则下列结论中正确的是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用赋值法对进行合理取值，即可得出选项中各函数值，得出结论.

【详解】令得；

令得，所以；

令得，所以；

令得，所以；

令4得.

综上只有正确.

【例2】（23-24高一上·山东·阶段练习）已知函数的定义域为R，若对任意实数x，y都成立，则；.

【答案】

【分析】令可求得；令得，令得，

，相减即可求得.

【详解】因为对任意实数x，y都成立，所以令得，

，解得；令得，

，令得，

，所以，所以.

【例3】已知定义在上的函数满足，则的值为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知可知，与已知的式子联立方程组可求出，从而可求出的值.

【详解】因为定义在上的函数满足，

所以，所以，

所以，解得，

所以

【巩固练习1】（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数，满足，若，则．

【答案】/

【分析】利用赋值法求出、f1、，从而得到，再利用特殊值求出、，最后根据奇偶性求出.

【详解】因为对于任意实数，满足，

当时，，

当时，，可得，则；

当时，，则.

函数的定义域为，令时，，

得，所以函数是奇函数.

令，即，得，

令，则，

又函数是奇函数，所以，所以.

故答案为：

【巩固练习2】（23-24高一上·吉林·期末）已知函数对任意，恒有，且，则（????）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】赋值法，分别令，，即可得出答案.

【详解】令，得，则.故A错误，C正确；

令，得.故B错误，D正确.

故选：CD.

【巩固练习3】已知函数的定义域为，且，，则的值是（????）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】D

【分析】由赋值法先得，再由与关系列式求解．

【详解】中令，则，

中令，，则，

又中令，则，所以，

中，令，则，

再令，，则．

【巩固练习4】已知定义域为的函数，满足，且，，则________.

【答案】0

【详解】由，

令，则

【巩固练习5】已知对所有的非负整数均有

，若，则______．

【答案】31

【解析】令，则，可得，

当时，令，令，

令，，则，可得，

所以，

令，，则，可得

【题型2】正比例函数模型(内加外加型)：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)

正比例函数的抽象表达式

1、对于正比例函数?，与其对应的抽象函数为??.

2、有以下性质

①

②奇函数证明：令，则

③可能具有单调性（结合其他条件）

3、相似的模型

【例1】（多选题）（23-24高一上