初中数学几何【手拉手旋转模型】经典习题（解析版）.pdfVIP

【基本模型】手拉手旋转模型

应用：通过辅助线利用旋转构造全等三角形解决问题。

【例题精讲】

1(基本模型1)如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC

于M，连接CE交AD于N，连接MN．

(1)求证：BD=CE；

(2)求证：△ABM≌△ACN；

(3)求证：△AMN是等边三角形．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证∠BAD=

∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE．

(2)由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步

求证△ABM≌△ACN(ASA)．

(3)由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等边三角形．

【详解】(1)∵△ABC和△ADE都是等边三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，

∴∠BAD=∠CAE．

AB=AC

在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE





AD=AE

∴△ABD≌△ACE(SAS)，

∴BD=CE．

(2)由(1)知△ABD≌△ACE，

∴∠ABM=∠ACN．

∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°，

1

∴∠CAN=60°=∠BAC．

∠BAM=∠CAN

在△ABM和△ACN中，AB=AC





∠ABM=∠ACN

∴△ABM≌△ACN(ASA)．

(3)由(2)知△ABM≌△ACN，

∴AM=AN，

∵∠CAN=60°，

∴△AMN是等边三角形．

【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相

等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键．

2(基本模型2)如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE=BE，D是AE上的一点，且DE=CE，连接

BD，CD．

(1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；

(2)如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变

化，并说明理由；

(3)如图3，若将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．

①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；

②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．

【答案】(1)BD=AC，BD⊥AC，理由见解析；(2)不变，理由见解析；(3)①BD=AC，理由见解析；②

能，60°或120°．

【分析】(1)延长BD交AC于F，根据“SAS”判定△BED≌△AEC，根据全等三角形的性质，即可求证；

(2)根据“SAS”判定△BED≌△AEC，根据全等三角形的性质，即可求证；

(3)①根据“SAS”判定△BED≌△AEC，根据全等三角形的性质，即可求证；②设AC与BD交于点F，根

据全等三角形的性质，即可求证．

【详解】(1)BD=AC，BD⊥AC，

理由：延长BD交AC于F．

∵AE⊥BC，

∴∠AEB=∠AEC=90°，

BE=AE

在△BED和△AEC中，∠BED=∠AEC

