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2022-2023学年湘教版八年级数学下册精选压轴题培优卷
专题01含30°角的直角三角形
姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、选择题(每题2分，共20分)
1．(本题2分)（2022秋·重庆江北·八年级重庆十八中校考期末）图1是一个地铁站入口的双翼闸机，如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路点拨】过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【规范解答】解：如图，过点作于点，过点作于点，
在中，，
，
同理可得，，
又双翼边缘的端点与之间的距离为，
，
当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为．
故选：A．
【考点评析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
2．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，在等边中，，分别为，边上的两个动点，且总使，与交于点F，于点，则以下结论：①；②；③．其中正确的结论有（）
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
【答案】B
【思路点拨】由题意知，，证明，进而可判断①的正误；由可得，由三角形外角的性质可知，，进而根据含度角的直角三角形的性质，可判断②的正误；由是动点，可知与的值不一定相等，进而可判断③的正误．
【规范解答】解：由题意知，
在和中，
∵
∴，
故①正确；
由可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故②正确；
∵是动点，
∴与的值不一定相等，仅当时，，则，
故③错误；
故选：B．
【考点评析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．解题的关键在于对知识的灵活运用．
3．(本题2分)（2021秋·河南信阳·八年级校考期末）如图，已知，点P在边OA上，，点M，N在边OB上，，若，则OM的长为（????）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【思路点拨】过P作，根据等腰三角形形三线合一及直角三角形角所对直角边等于斜边一半即可得到答案．
【规范解答】解：过P作，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：C．
．
【考点评析】本题考查等腰三角形形三线合一及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，解题关键是作出辅助线．
4．(本题2分)（2023秋·湖北鄂州·八年级统考期末）如图，边长为的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到，连结．则在点运动过程中，线段长度的最小值是（????）
A．6 B．3 C．1 D．
【答案】B
【思路点拨】取的中点，连接，根据等边三角形的性质可得，再求出，根据旋转的性质可得，然后利用边角边证明，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据垂线段最短可得时最短，再根据求解即可．
【规范解答】解：如图，取的中点，连接，
旋转角为，
，
又，
，
是等边的对称轴，
，
，
又旋转到，
，
在和中，
，
，
，
根据垂线段最短，当时，最短，即最短，
此时，，
，
；
故选：B．
【考点评析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
5．(本题2分)（2022秋·河北保定·八年级统考期中）如图，在中，平分交于点M，过点M作交于点N，且平分．若，则的长为（???）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【思路点拨】先求得的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得的长，再求得的长．
【规范解答】解：∵在中，平分交于点M，
∴
∵过点M作交于点N，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
故选：D．
【考点评析】本题考查了角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
6．(本题2分)（2023秋·湖南长沙·八年级统考期末）如图，为等边三角形，相交于点于的长是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路点拨】根据等边三角形的性质得出，，根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，，求出，求出，根据含角的直角三角形的性质求出，即可求出答案．
【规范解答】解：是等边三角形，
，，
在和中
，
，，
，
，
，
，
在中，，，，
，
，
，
故选D．
【考点评析】本题考查了等边三角形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题
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