（全国通用）2024高考数学二轮复习 大题规范天天练 第四周 函数与导数.doc

星期四(函数与导数)

2024年____月____日

函数与导数知识(命题意图：考查利用导数证明不等式，考查考生对转化与化归思想的应用)

已知函数f(x)＝lnxex＋a

(1)若x＝1是f(x)的极值点，讨论f(x)的单调性；

(2)当a≥2时，证明：f(x)＜0

(1)解f′(x)＝eq\f(1,x)ex＋a(x＞0)，∵x＝1是f(x)的极值点，∴f′(1)＝1e1＋a＝0，

∴a＝1，此时f′(x)＝eq\f(1,x)ex1，当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，f(x)在(0，1)内单调递增，

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)在(1，＋∞)内单调递减

(2)证明当a≥2时，ex＋a≥ex2，f(x)＝lnxex＋a≤lnxex2，只需证g(x)＝lnxex2＜0即可，g′(x)＝eq\f(1,x)ex2，

由g′(x)＝0，得eq\f(1,x)＝ex2，由图象法知方程有唯一解x0∈(1，2)，且ex02＝eq\f(1,x0)，lnx0＝x0＋2，当x∈(0，x0)时，g′(x)＞0，g(x)在(0，x0)内单调递增，

当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)在(x0，＋∞)内单调递减，

∴g(x)max＝lnx0ex02＝x0＋2eq\f(1,x0)，由x0∈(1，2)知x0＋eq\f(1,x0)＞2eq\r(x0·\f(1,x0))＝2，g(x)max＝x0＋2eq\f(1,x0)＜0综上，当a≥2时，f(x)＜0