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新疆昌吉市教育共同体四校2024年高三下学期期中质量抽测数学试题试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知点、．若点在函数的图象上，则使得的面积为的点的个数为（）

A． B． C． D．

2．在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（）

A． B． C． D．

3．已知复数，则（）

A． B． C． D．2

4．是正四面体的面内一动点，为棱中点，记与平面成角为定值，若点的轨迹为一段抛物线，则（）

A． B． C． D．

5．如图，平面四边形中，，，，，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（）

A． B． C． D．

6．已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象()

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

7．执行如图所示的程序框图，当输出的时，则输入的的值为()

A．-2 B．-1 C． D．

8．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出属于（）

A． B． C． D．

9．正项等比数列中，，且与的等差中项为4，则的公比是()

A．1 B．2 C． D．

10．集合的子集的个数是（）

A．2 B．3 C．4 D．8

11．已知双曲线：的左、右两个焦点分别为，，若存在点满足，则该双曲线的离心率为（）

A．2 B． C． D．5

12．抛物线方程为，一直线与抛物线交于两点，其弦的中点坐标为，则直线的方程为（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数，若，则___________.

14．已知函数的最大值为3，的图象与y轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则

15．已知数列的各项均为正数，记为数列的前项和，若，，则______.

16．函数的定义域为____.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）将棱长为的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值.

18．（12分）已知在中，角，，的对边分别为，，，且.

（1）求的值；

（2）若，求面积的最大值.

19．（12分）在中，内角所对的边分别为，已知，且.

（Ｉ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求面积的取值范围.

20．（12分）已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）．

（1）求实数的值；

（2）用表示中的最小值，设函数，若函数

为增函数，求实数的取值范围．

21．（12分）在中，角所对的边分别是，且.

（1）求角的大小；

（2）若，求边长.

22．（10分）已知，其中．

（1）当时，设函数，求函数的极值．

（2）若函数在区间上递增，求的取值范围；

（3）证明：．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

设出点的坐标，以为底结合的面积计算出点到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于的方程，求出方程的解，即可得出结论.

【详解】

设点的坐标为，直线的方程为，即，

设点到直线的距离为，则，解得，

另一方面，由点到直线的距离公式得，

整理得或，，解得或或.

综上，满足条件的点共有三个．

故选：C.

【点睛】

本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题．

2、D

【解析】

连接，，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角），

不妨设正方体的棱长为2，取的中点为，连接，在等腰中，求出，在利用二倍角公式，求出，即可得出答案.

【详解】

连接，，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角），

不妨设正方体的棱长为2，则，，

在等腰中，取的中点为，连接，

则，，

所以，

即：，

所以异面直线，所成角的余弦值为.

故选：D.

【点睛】

本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体