陕西省高中数学 第一章 计数原理 排列问题中的常见典型错误拓展资料素材 北师大版选修23.doc

排列问题中的常见典型错误

众所周知，排列问题是高中数学的难点之一，它与其它知识联系相对较少，但应用性强，解答对学生的抽象思维能力和逻辑思维能力要求较高，因此初学者学习排列就易出现各种错误，且往往具有普遍性现就最常见的几类错误进行分析

一分类不清造成增解

出现增解常有见两种情形：(1)选取元素时出现重复；(2)分类时没有严格分开而出现重复现象

例12024年奥运圣火在某市传递，在一重要的路段准备安排7个火炬手传递，其中甲火炬手不跑第一棒，乙火炬手不跑最后一棒，问火炬手传递顺序有多少种安排法？

错解1：安排在第一棒除甲火炬手之外的有Aeq\o(1,6)种情形，安排在最后一棒除乙火炬手之外的也有Aeq\o(1,6)种情形，然后余下的中间安排有Aeq\o(5,5)种情形，所以不同的安排法有Aeq\o(1,6)Aeq\o(1,6)Aeq\o(5,5)＝4320种

剖析：安排第一棒的6种情形也有乙甲火炬不安排在最后一棒的情况，因此重复计算了5Aeq\o(5,5)种情形

正解：减去重复数，应为Aeq\o(1,6)Aeq\o(1,6)Aeq\o(5,5)5Aeq\o(5,5)＝3720种

错解2：第一棒与最后一棒两个位置可从甲乙之外的5人中选两人来排，有Aeq\o(2,5)种排法，余下的人排中间有Aeq\o(5,5)种方法，所以甲乙不安排在第一棒最一棒有Aeq\o(2,5)Aeq\o(5,5)种；又甲乙分别在最一棒第一棒的安排法各有Aeq\o(6,6)种，因此不同的安排法共有Aeq\o(2,5)Aeq\o(5,5)＋2Aeq\o(6,6)＝3840种

剖析：甲安排在最后一棒，且乙安排在第一棒已包含在甲安排在第一棒或乙安排在第一棒的情形中，因此重复计算了Aeq\o(5,5)种安排法

正解2：减去重复数，应为Aeq\o(2,5)Aeq\o(5,5)＋2Aeq\o(6,6)Aeq\o(5,5)＝＝3720种排法

应对策略：遇到需要分类处理排列问题时，一定要按照同一标准，严格分类，做到既不重复也不遗漏

二混淆“相间”与“不相邻”

“相间”与“相邻”是两个不同的概念，在处理这类问题时，易将“相间”问题处理为“相邻”问题

例22024年某省级电视台在奥运会期间举办了一台相声戏曲晚会，向全世界展示中华民族特有的艺术瑰宝，共安排有5个相声节目，有5个戏曲节目，安排节目出场顺序时要求相声与戏曲节目相间演出，共有多少种安排法？

错解：先将5个相声节目全排列有Aeq\o(5,5)种，然后再将5个戏曲节目插入5个相声前后及之间的6个空档中有Aeq\o(5,6)种，共有Aeq\o(5,5)Aeq\o(5,6)＝86400种

剖析：上面解法并不能保证两类节目相间，因为当第一个节目与最后一个节目均为戏曲节目时，一定有两个相声节目的顺序是连续的

正解：5个相声与5个戏曲节目要相间分为两类：相戏相戏相戏相戏相戏，或戏相戏相戏相戏相戏相因此节目安排顺序有2Aeq\o(5,5)Aeq\o(5,5)＝28800种

应对策略：相邻问题一般采用“插空法”，相间问题一般分两种情形解答

三利用间接法出现少解

在利用间接法时都容易出现少解的情况，这是因为在减去不满足条件的方法时，对问题的考虑不全面造成多减重复减

例3四川汶川地震救灾行动中要安排5名志愿者到5个不同的地方如果甲不到A地，乙不到B地，那么共有多少种不同的安排方法？

错解：5名志愿者5个不同的地方有Aeq\o(5,5)种方法；甲担到A地有Aeq\o(4,4)种方法；乙到B地有Aeq\o(4,4)种方法，故共有Aeq\o(5,5)Aeq\o(4,4)Aeq\o(4,4)＝72种，

剖析：上面解法造成了少解，这是因为没有考虑到甲到A地的同时乙到B地的情况

正解：5名志愿者进行全排有Aeq\o(5,5)种排法，其中甲到A地的有Aeq\o(4,4)种与乙到B地有Aeq\o(4,4)种，去掉这两种情况后，又多去掉了甲到A地，同时乙到B地的Aeq\o(3,3)种情况，故共有Aeq\o(5,5)2Aeq\o(4,4)＋Aeq\o(3,3)＝78种

应对策略：利用间接法求解排列问题时，要注意所减情形中是否存在特殊的情况也符合条件或者是否存在重复减去的情况

通过上面对错例的分析，可以看到解排列应用题中出现的常见错误主要有“重复”和“遗漏”两大类，因引在平时的学习中要注意收集造成这两类错误的种类情况，并分析清楚错误的根三原因，做到防患未然