20242024学年高中数学 椭圆及其标准方程（二）导学案 新人教A版选修21.doc

年高中数学椭圆及其标准方程（二）导学案新人教A版选修21

【学习要求】

加深理解椭圆定义及标准方程，能熟练求解与椭圆有关的轨迹问题

【学法指导】

通过例题的学习，进一步用运动变化的观点认识椭圆，感知数学与实际生活的联系，通过生成椭圆的不同方法，体会椭圆的几何特征的不同表现形式

【双基检测】

1设定点F1(0，3)F2(0,3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋eq\f(9,a)(a0)，则点P的轨迹是()

A椭圆 B线段C不存在 D椭圆或线段

2已知椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k的值为 ()

A1 B1 Ceq\r(5) Deq\r(5)

3“mn0”一定是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”吗？

4椭圆eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的_____倍

【问题探究】

探究点一定义法求轨迹方程

例1如图，P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A坐标为(2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程

跟踪训练1已知圆A：，圆A内一定点B(3，0)，圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程

探究点二相关点法求轨迹方程

例2如图，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？

问题从例2你能发现椭圆与圆之间的关系吗？

跟踪训练2如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝eq\f(4,5)|PD|当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程，并判断此曲线的类型

探究点三直接法求轨迹方程

例3如图，设点A，B的坐标分别为(5,0)，(5,0)直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是eq\f(4,9)，求点M的轨迹方程

问题若将例3中的eq\f(4,9)改为a(a0)，曲线形状如何？

跟踪训练3已知M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足eq\o(MN,\s\up14(→))·eq\o(MP,\s\up14(→))＝6|eq\o(NP,\s\up14(→))|求动点P的轨迹C的方程

【当堂检测】

1已知椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,16)＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则m等于()

A10 B5 C15 D25

2椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1的焦距等于2，则m的值为 ()

A5 B8 C5或3 D16

3设B(4,0)，C(4,0)，且△ABC的周长等于18，则动点A的轨迹方程为()

Aeq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) Beq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)Ceq\f(x2,16)＋eq\f(y2,16)＝1(y≠0) Deq\f(y2,16)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)

4椭圆eq\f(x2,9)＋y2＝1上有动点P，F1，F2是椭圆的两个焦点，求△PF1F2的重心M的轨迹方程

【课堂小结】

1解答与椭圆有关的求轨迹问题的一般思路是

2注意题目要求中求轨迹和求轨迹方程的区别

【拓展提高】

1已知椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的左右焦点分别是F1F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹方程为________

2设F1F2为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，已知F1F2是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值