炎德.英才大联考湖南师范大学附属中学2023-2024学年高三暑假自主学习测试数学试题.docVIP

炎德.英才大联考湖南师范大学附属中学2023-2024学年高三暑假自主学习测试数学试题

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知是过抛物线焦点的弦，是原点，则（）

A．－2 B．－4 C．3 D．－3

2．若复数，，其中是虚数单位，则的最大值为()

A． B． C． D．

3．已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（）

A． B． C． D．

4．圆锥底面半径为，高为，是一条母线，点是底面圆周上一点，则点到所在直线的距离的最大值是（）

A． B． C． D．

5．若为虚数单位，则复数，则在复平面内对应的点位于()

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

7．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与轴交于点，线段与交于点.若，则的方程为（）

A． B． C． D．

8．函数的图象的大致形状是（）

A． B． C． D．

9．由曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为()

A．1 B． C． D．

10．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是()

A． B． C． D．

11．已知函数是定义域为的偶函数，且满足，当时，，则函数在区间上零点的个数为（）

A．9 B．10 C．18 D．20

12．复数满足，则（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数，若方程的解为，（），则_______；_______．

14．已知向量，，则______.

15．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是_____．

16．记数列的前项和为，已知，且.若，则实数的取值范围为________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）设的最小值为，正数，满足，证明：.

18．（12分）已知椭圆与抛物线有共同的焦点，且离心率为，设分别是为椭圆的上下顶点

（1）求椭圆的方程；

（2）过点与轴不垂直的直线与椭圆交于不同的两点，当弦的中点落在四边形内（含边界）时，求直线的斜率的取值范围.

19．（12分）已知函数

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若数列的前项和，，求证：数列的前项和.

20．（12分）如图，在四棱锥中底面是菱形，，是边长为的正三角形，，为线段的中点．

求证：平面平面；

是否存在满足的点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

21．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.

（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）设直线上的定点在曲线外且其到上的点的最短距离为，试求点的坐标.

22．（10分）在平面直角坐标系中，已知点，曲线：（为参数）以原点为极点，轴正半轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（Ⅰ）判断点与直线的位置关系并说明理由；

（Ⅱ）设直线与曲线的两个交点分别为，，求的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

设，，设：，联立方程得到，计算

得到答案.

【详解】

设，，故.

易知直线斜率不为，设：，联立方程，

得到，故，故.

故选：.

【点睛】

本题考查了抛物线中的向量的数量积，设直线为可以简化运算，是解题的关键.

2、C

【解析】

由复数的几何意义可得表示复数，对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解.

【详解】

由复数的几何意义可得，复数对应的点为，复数对应的点为，所以，其中，

故选C

【点睛】

本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型.

3、B

【解析】

直接利用向量的坐标运算得到向量的坐标，利用求得参数m，再用计算即可.

【详解】

依题意，，而，即，解得，则.

故选：B.

【