2024届高三数学备考 数列通项公式的求法 理.doc

高三数学数列的通项公式

【教学目标】

知识目标

1解决形如

通项公式的确定。

2通过学习让学生掌握和理解几种类型的通项公式的求法。

二能力目标

在实践中通过观察尝试分析类比的方法导入数列通项公式，培养学生类比思维能力。通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。通过归纳总结，促进学生自主学习和归纳的能力。

情感目标

通过公式的推导使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊，体现“归纳—推理”的思想方法。

【教学重点】：通过学习让学生能够熟练准确的掌握通项公式的求法，并能解决实际问题。

【教学难点】：

如何将转化为我们熟悉的等差和等比数列。

理解和掌握此类型的数列通项公式确定的数学思想方法。

【知识点梳理】

1数列的通项公式

如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式

2Sn与an的关系

已知Sn，则an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,SnSn1，n≥2))在数列{an}中，若an最大，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an1，,an≥an＋1))若an最小，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an1，,an≤an＋1))

3已知求数列通项公式用累加法

4已知求数列通项公式用累乘法

5已知求数列通项公式

（1）：可转化为令，则成等比数列；

（2）：可转化为，则为等比数列

【典型例题】

题型一：由数列的前几项写出数列的通项公式

例1根据下面各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：

解析：

点拨：（1）解决这类问题需要我们从多角度全方位观察广泛联系，一般要将原数列变形后化为基本数列或特殊数列，要熟知一些基本数列，如数列等

（2）归纳得出的数列的通项公式适合前几项即可，并且通项公式也不一定唯一

【变式练习】

1写出下面各数列的一个通项公式：

(1)3,5,7,9，…；

(2)eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(7,8)，eq\f(15,16)，eq\f(31,32)，…；

(3)1，eq\f(3,2)，eq\f(1,3)，eq\f(3,4)，eq\f(1,5)，eq\f(3,6)，…；

(4)3,33,333,3333，…

[审题视点]先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项之间的关系，项与前后项之间的关系

解(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1

(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23，24，…，所以an＝eq\f(2n1,2n)

(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为21，偶数项为2＋1，所以an＝(1)n·eq\f(2＋?1?n,n)

也可写为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)，n为正奇数，,\f(3,n)，n为正偶数))

(4)将数列各项改写为：eq\f(9,3)，eq\f(99,3)，eq\f(999,3)，eq\f(9999,3)，…，

分母都是3，而分子分别是101,1021,1031，1041，…，所以an＝eq\f(1,3)(10n1)

题型二：由递推关系求通项

（1）累加法：已知求数列通项公式用累加法

例1已知数列满足，求数列的通项公式。

解：由得则

所以数列的通项公式为。

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。

【变式练习】

1已知数列满足，求数列的通项公式。

解：由得则

所以

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。

2已知数列中，，求数列的通项公式；

【解题思路】已知关系式，可利用迭加法或迭代法；

【解析】（累加法），

（2）累乘法：已知求数列通项公式用累乘法

例2已知数列中，，求数列的通项公式

【解析】由得，

【变式练习】

1已知数列中:a1＝1，an＝eq\f(n1,n)an1(n≥2),确定数列{an}的通项公式

【解析】∵an＝eq\f(n1,n)an1(n≥2)，∴an1＝eq\f(n2,n1)an2，…，a2＝eq\f(1,2)a1

以上(n1)个式子相乘得an