2024届高中数学《直线和圆的位置关系》导学案 北师大版必修2.doc

第10课时直线和圆的位置关系

1理解直线与圆的位置关系的种类

2利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离

3会用方程思想(判别式法)或点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系

一艘船在沿直线返回港口的途中,接到台风预报:台风中心位于船正西70千米处,受影响的范围是半径为30千米的圆形区域已知港口位于台风中心正北40千米处,如果这艘船不改变航线,那么它是否会受到台风影响?这个问题可归结为直线和圆是否有公共点的问题,也是我们这节课研究的对象

问题1:直线与圆的位置关系有三种:相交相切相离?

判断直线与圆的位置关系有两种方法:

(1)代数法:联立直线方程与圆的方程消去x或y整理成一元二次方程后,计算判别式Δ,当判别式Δ0时,直线和圆相离;当判别式Δ=0时,直线和圆相切;当判别式Δ0时,直线和圆相交?

(2)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:

dr?相交,d=r?相切,dr?相离?

问题2:过一定点是否都存在圆的切线?如果存在,如何求圆的切线方程?

(1)若点在圆内,此时直线和圆相交,不存在圆的切线

(2)若点在圆上,则过该点的切线只有一条,切线方程求法如下:?

①直接法,先求该点与圆心的连线的直线的斜率,再利用垂直关系求出切线斜率,最后用点斜式求出切线方程

②设元法,先设出切线方程(注意斜率不存在时的讨论),再利用圆心到切线的距离等于半径,求出所设参数

③公式法,设A(x0,y0)是圆(xa)2+(yb)2=r2上的一点,则过点A的切线方程为:(xa)(x0a)+(yb)·(y0b)=r2,特别地,当圆心在原点时,即:A(x0,y0)是圆x2+y2=r2上一点,则过点A的切线方程为:x0x+y0y=r2?

(3)若点在圆外,则过该点的切线有两条,切线方程求法如下:?

首先分析斜率不存在是否满足条件,再分析斜率存在时:设斜率为k,写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径求出斜率,从而求出切线方程

问题3:计算直线被圆截得的弦长的常用方法

(1)几何法:运用弦心距(即圆心到直线的距离)弦长的一半及半径构成直角三角形计算

(2)代数法:运用韦达定理及两点距离公式有|AB|=?·|xAxB|=?

问题4:用直线与圆的知识解决实际问题的步骤

(1)仔细审题,理解题意;

(2)引入数学符号,建立数学模型;?

(3)用直线与圆的知识解决已建立的数学模型;

(4)用结果解释实际问题?

1直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是()

A相交 B相切 C相离 D相切或相交

2自点A(1,4)作圆(x2)2+(y3)2=1的切线,则切线长为()

A B3 C D5

3若直线y=kx+2与圆(x2)2+(y3)2=1有两个不同的交点,则k的取值范围是?

4过原点作圆x2+y22x2y+1=0的切线,求切线方程

圆的切线方程

已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程

求圆的弦长

求直线xy+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长

利用圆的方程求最值

已知实数x,y满足(x2)2+y2=4,求3x2+4y2的最值

求过点P(4,5)的圆(x2)2+y2=4的切线方程

已知圆C:x2+y28y+12=0,直线l:ax+y+2a=0当直线l与圆C相交于A,B两点,且AB=2时,求直线l的方程

已知点P(x,y)在圆x2+(y1)2=1上运动,则的最大值为;最小值为?

1直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是()

A相切 B相交但直线不过圆心

C直线过圆心 D相离

2圆C:x2+y24x=0在点P(1,)处的切线方程为()

Ax+y2=0 Bx+y4=0

Cxy+4=0 Dxy+2=0

3直线xy+m=0与圆x2+y22x2=0相切,则实数m等于?

4已知圆x2+y2=8内一点P(1,2),过点P的直线l的倾斜角为135°,直线l交圆于AB两点,求AB的长

(2024年·北京卷)直线y=x被圆x2+(y2)2=4截得的弦长为?

考题变式(我来改编):

第10课时直线和圆的位置关系

知识体系梳理

问题1:相交相切相离(1)相离相切相交

(2)相交相切相离

问题2:(2)一条③x0x+y0y=r2

(3)两条

问题3:(2)·|xAxB|=

问题4:(2)数学符号数学模型(4)实际问题

基础学习交流

1A∵d==14,∴直线与圆的位置关系是相交

2B因为过圆外一点作圆的切线,两条切线长相等,故切线长为=3,或2(1)=3

3(0,)依题意有1,解得0k,

∴k的取值范围是(0,)

4解:已知圆的标准方程为(x